[MD-sorular] Soyut ve Somut...

[OktayD]

Sayın Erdem Çapçı{

(Rica etsem, bir dahaki ya yazınızda Türkçe karakter kullanmayın ya da
Türkçe karakterleri tanıyan bir e-posta servisi edinin lütfen, okurken çok
güçlük çektim.)

Bahsettiğiniz zar olayının matematikteki anlamı zarın o anda ne geleceği
değildir, zar o anda herhangi bir sayı gelebilir. Ancak matematik der ki biz
zarı ne kadar çok atarsak hesapladığımız olasılığa o kadar çok yaklaşırız.
Örneğin yazı tura "gelme" olasılığı 1/2 ise matematik, parayı ne kadar çok
atarsanız atılmış olan "yazı" sayısı ile "tura" sayısının oranı 1/2 ye
yakınsar anlamını verir. Olasılık denilen şey tikel her durumun örnekleme
uzayına oranıdır. MAtematikte şans diye bir tanım yoktur. Şans toplumun
verdiği bir tanımdır.

Kaldı ki fizik de bir zarın ne geleceğini tam bir kesinlikle bilemez.
Kuantumda; Heisenberg'ün Belirsizlik İlkesi bir parçacığın momentumunun ve
konumunun (ya da enerjisinin ve zamanının) aynı anda belirli olamayacağını
söyler. Bir zarın parçacıklardan oluştuğunu ve ortamın koşullarının da
belirsiz olduğunu düşünürsek, zarın ne geleceği çok daha belirsiz oluyor.
Çünkü bir parçacık için p.x belli bir değerden (h/2*pi, h: planck sabiti)
daha küçük olamıyorsa; çok parçacıklı bir sistem için varın gerisini siz
düşünün. Zaten kuantum mekaniğinde olasılık kuramı kullanılır. Yani bir
parçacığın belli bir anda nerede olduğunu fizik de asla bilemez, ama onun
yerine olasılık dağılımını söyler. Yani fiziğin matematikten çok çok farkı
yok. Çoğu kez fiziği matematiğin bir alt sistemi olduğunu düşünebilirsiniz.
Nasıl ki kimya fiziğin bir alt sistemiyse.

Fizik somut dediğimiz şeyleri inceler. Fiziğin matematik anlayışı şudur:
matematiksel bir sonuca ulaştıktan sonra onu yorumlamak. Zaten yasalardan
çıkarsanarak matematik her denkleme çözüm bulur ama fizik bu denklemin ne
anlama geldiğini araştırır. Mesela bir çözümde kütle negatif çıktı. Ya da
Einstein ın kuramında cisim ışıkhızına ulaşsın dediniz, kütle sonsuz çıktı.
Bunların fiziksel karşılıkları önemlidir fizikte. O zaman somut olanın
(fiziğin) aslında soyut olanın (tüm matematiğin) bir altkümesi olduğu
düşünülebilir. Sanki görünen şeyler, matematiksel sistemlerin beyindeki
yansıması gibidir. Platon'un idealar dünyası gibi... Neyse bu felsefik
tartışmanın sonu bir yere varmaz. Matematiğe dönelim...
}



Sayın ers12345678{

1. Bu sorunuzu anlamadım.

2. Araştırınca her kaynak bulunuyor.

3. Karmaşık sayılarla ilgili aynı soru burada daha önce sorulmuştu. Karmaşık
sayılar sıralanabilir değildir, bu yüzden karmaşık sayıları göstermek için a
gerçel sayılarını x gerçel ekseninde ve ib sayılarını da x eksenine dik
(aslında ortogonal) olan iy ekseninde sıralarız. Böylece her karmaşık sayı
aslında (a,b) ikililerinden oluşur demek isteriz.

4. e, pi, kök2 gibi gerçel sayılara transandal sayılar deniyordu galiba.
Aklıma başka sabitler gelmiyor. e sayısı Euler'in simgeleştirdiği bir
sayıdır. e sayısı, y=1/x hiperbolü, x ekseni, x=1 ve x=e doğrularıyla
sınırlı alanın 1 olması koşulunu sağlayan tek sayıdır. Yani,
integral{1 den e ye} 1/x dx = lne = 1.

6. 2^0=1 eşitliği (^ işareti üs işlemi anlamındadır) üstel fonksiyonun
davranışından bulunmaz. Bunu çeşitli yollarla irdeleyebiliriz. Belitsel
(axiomatic) yaklaşımla göstereyim. Belit (axiom), doğru kabul edilen
önermelerdir. Şimdi kullanacağım simgelerde a' sayısını a nın ardılı (a dan
sonra gelen) olarak kullandım.
Her x ve her y için toplamada şu kabulleri yaparız:
1. x+0=x
2. x+y'=(x+y)'
Çarpma için
3. x*1=x
4. x.y'=x.y+x
Şimdi yeni bir işlem koyutlayalım:
5. x^1=x
6. x^y'=x^y.x

Doğal sayılarla olan tüm işlemleri bu 6 belite indirgeyebiliriz.
Şimdi 5. ve 6. önermeleri alalım.
6. da y=0 özellemesini yaparsak:
x^0'=x^0.x
1. 2. 3. 4. önermelerini kullanarak 0'=1 olduğu kolayca kanıtlanabilir. O
zaman
x^1=x^0.x
5. önerme x^1=x diyordu.
x=x^0.x
3. önermede her x için x*1=x dediğine göre
her x için x^0=1 sağlar.

Aslında 5. ve 6. yerine x^n=x.x.x.x....x (n tane) diyebilirdik. Aynı şey
olurdu. Buradan 5. ve 6. önermeler kanıtlanır ardından yine aynı işlemler
yapılırdı.

7. Tabi, lim{x->oo} 1/x=0 deriz. Yoksa sonsuz (yani oo ) diye bir şey yoktur
gerçel sayılar kümesinde.

8. Cebir kitaplarında bulabilirsiniz. Kısaca, nxn matrisli n gerçel
değişkenli x1, x2, ..., xn bir kuadratik form Q(x1, x2, ..., xn)=Aij xi xj
olarak gösteriliyor, burada Einstein toplamı kullandım. Vektörel gösterim de
yapılır.
}

Saygı Sevgi ve Mantık...

--
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam".
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20051116/9affb001/attachment.htm