[MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajı, Sayı 9, Konu 3

[M. Onur Fen]

Soru hakkında Murad ÖZKOÇ Bey'e katılıyorum. 
f(x)=x^2 * sin(1/x) fonksiyonu x=0'da tanımlanmadığından ne o
noktadaki türevinden ne de o noktada sürekli olup olmamasından
bahsedilebilir. Fonksiyonun tanim kümesi R-{0}'dır. 

x^2 *sin(1/x) fonksiyonunu x=0'da 0 olarak tanımlayarak ne yapmış
olduğumuz şey 
f(x)= x^2 *sin(1/x) eğer x 0'dan farklı ise
     = 0 eğer x=0 ise
şeklinde yeni bir fonksiyon tanımlamaktır.  Bu fonksiyon
y=x^2*sin(1/x) fonksiyonundan farklıdır. 
M. Onur Fen
 
> ben de bir kaç şey söylemek istiyorum. öncelikle
> sürekli fonksiyonun taniminı vermenize gerek yok,
> biliyorum. şunu söyleyeyim ki görünüşe aldanmamak
> lazım. 1/x fonksiyonu x=0 sürekli degil diye içinde
> 1/x geçen tüm fonksiyonlar sürekli degildir ve o
> noktada "tanımsızdır" sonucunu nasıl çıkardıgınızı
> anlamadım. simdi x^2 * sin(1/x) fonsiyonunu  önce x=0
> da "sıfır"(0) olarak "tanımlayıp" daha sonra da
> surekli oldugunu gosterelim.  fonksiyonumuzu artık x=0
> da "tanımladıktan" sonra artık surekli oldugunu
> ispatlayabiliriz. gosterecegimiz sey limx-->0 iken
> x^2*sin(1/x)=0, önce u=1/x dönusumu yapalım
> dolayısıyla sorun şimdi lim u-->sonsuz sin(u)/u^2=0.
> sinus ustten sınırlı oldugundan bu acık sanırım.
> dolayısıyla verilen cevap uygundur.
> baris evren ugurcan  
> 
> 
> 
> 
> --- MURAD ÖZKOÇ <murat7676 at yahoo.com> wrote:
> 
> >        Türevi olan fakat türev fonksiyonu sürekli
> > olmayan bir fonksiyon nedir sorusuna verilen "tüm
> > reel
> > sayilar üzerinde tanimli ama türevi sürekli
> > olmayan bir fonksiyon x^2 * sin(1/x) olabilir"
> > cevabı
> > için bir kaç şey söylemek istiyorum. 
> > 
> >     Söz konusu fonksiyon x=0 için tanımlı değildir.
> > Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinden
> > bahsedebilmemiz için öncelikle o fonksiyonun
> > belirtilen noktada tanımlı olması gerekir.
> > Fonksiyonun
> > tanımlı olmadığı bir noktada sürekliliğinden
> > bahsedemeyiz. Örneğin; f(x)=1/x fonksiyonun tanım
> > kümesi R\{0} dır. 0 tanım kümesinin elemanı olmadığı
> > için o noktada süreklilikten bahsedilmez. f
> > fonksiyonu
> > 0 noktasında süreklidir demek ne kadar anlamsızsa, f
> > fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ya da sürekli
> > değildir demekte o kadar anlamsızdır. Dolayısıyla
> > x^2
> > * sin(1/x) fonksiyonu verilen soru için uygun bir
> > cevap değildir kanaatindeyim.
> > 
> > Murad ÖZKOÇ
> > 
>
----------------------------------------------------------------------

> > > tüm reel sayilar üzerinde tanimli ama türevi
> > sürekli
> > > olmayan bir fonksiyon x^2 * sin(1/x) olabilir. bu
> > > fonksiyonun türevi 2*x*sin(1/x)-cos(1/x) tir. lim
> > > x->0
> > > iken -x<=x*sin(1/x)<=x ten x*sin(1/x) 0 a gider
> > ama
> > > cos(1/x) in limiti yoktur dolayısıyla turev 0 da
> > > surekli degildir.
> > > baris evren ugurcan