RE: [MD-sorular] Bir kümenin alttoplulukları

[ali nesin]

Guzel sorular sormussun.

 

"Elimizde bir küme ve bir de küme olup olmadığından emin olmadığımız

bir topluluk olsun. Ancak bu topluluğun bütün elemanları kümenin de

bir elemanı. Yani topluluğumuz kümenin bir alttopluluğu.

Bu alttopluluğun küme olmaması mümkün müdür, mümkünse bir örnek

verilebilir mi, verilebilinirse verebilecek kimse var mı?"

 

Evet. Mumkundur. Mumkundurden de ote, eger kume sonsuzsa oyle olmak
zorundadir.

 

Nasil bir ornek istediginden emin degilim ama ornegi "gozlerinle gormen"
(ornegin bir formulle tanimlayabilmen) imkansiz, gorebilsen kume olurdu.

 

Su ornegi vereyim: Dogal sayilar kumesi tum tumevarimsal kumelerin
kesisimidir. Kumeler kuraminin bir baska modelinde daha fazla tumevarimsal
kume olabilir. O zaman o modelde dogal sayilar kumesi daha kucuktur. Ve o
zaman da bu daha kucuk dogal sayilar kumesi, daha az tumevarimsal kumesi
olan modelde kume olamaz. Tekrar edeyim. M, kumeler kuraminin bir modeli
olsun. N, M modelindeki dogal sayilar olsun. M_1, M'den daha buyuk bir model
olsun. Yani M_1 de kumeler kuraminin bir modeli ve ayrica M'yi iceriyor.
N_1, M_1'de dogal sayilar kumesi olsun. Elbette N_1'in her elemani N'nin de
bir elemanidir. N_1, N'den daha kucuk olabilir. Bu mumkundur. Forcing ile
sanirim. Eger oyleyse o zaman N_1, M'de bir kume degildir.

 

Bir baska ornek: N ile R arasinda bir baska kardinalitinin olup olmadigi
kanitlanamaz. Bu su demektir: Kumeler kuraminin bir modelinde (diyelim M'de)
N ile R arasinda bir kardinalite yoktur. Ama bir baska modelinde vardir.
Yani w (omega) ile 2^w arasinda (burada 2^w kardinal anlaminda, ordinal
anlaminda degil, ordinallerde 2^w = w'dir) bir kardinal olabilir de
olmayabilir de. Buradan (saniyorum) kolaylikla bir modelde kume olmayan bir
baska modelde kume olan bir toplulugun varligi gosterilebilir.

 

"Bir küme verildiğinde onun bir alttopluluğunun küme olduğunu

tanımlanabilir altküme belitinden çıkarıyoruz. Ya da bu topluluğun

küme olduğunu üstkümeden bağımsız olarak bir şekilde ortaya çıkarmış

da olabiliriz, ancak bundan başka altküme elde etme yolu yok (1)." Dogru.

 

"Özellikler sayılabilir sonsuzluktadır." Bir anlamda dogru. Birazdan
aciklama gelecek.

 

"Dolayısıyla bir kümenin en fazla sayılabilir altkümesi olabilir." Yanlis.
Cunku ozelliklerde parametre de kullanabiliriz... Ornek: f(x,y) su formul
olsun: "x'in tek bir elemani var, o da y." Simdi X bir kume olsun. X'in her
a elemani icin f(x, a) bir kume belirler. Burada a bir parametredir. f(x, y)
gibi parametresiz formullerden sayilabilir sonsuzlukta vardir ama y yerine
parametre yerlestirdiginde sayilamaz sonsuzlukta formul elde edebilirsin.

 

"Oysa biz her kümenin altkümelerinin kümesini alabiliyoruz. Ve doğal
sayıların örneğin sayılamaz tane altkümesi olduğunu da gösterebiliriz.
Çelişki nerede?" Sanirim celiskiyi anladin. Parametreleri hesaba
katmiyorsun.

 

"Çünkü biz bir şey çok büyük olduğunda küme olmasını istemiyoruz,
paradokslar hep büyük kümelerden çıkıyor (2)." Bildigim kadariyla dogru.

 

"Dolayısıyla başka bir kümeden daha küçük bir topluluğun küme

olmaması, aslında istenmeyen ama biraz da kaçınılmaz olan bir yanetki

mi?" Evet oyle. Aynen.

 

"Aslında bir de Seçme beliti var bir kümeden altküme elde etme yolu,

ancak ondan, sonlu adımda sadece sonlu adet altküme elde edebiliriz." Bu pek
dogru degil. Genellikle secme belitiyle elde edilen kumelerden birden cok
daha fazla vardir. Secme beliti en az bir tane kume vardir der ama ta bir
tane oldugunu soylemez.

 

Ali

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060630/47aa6519/attachment.htm