Re: [MD-sorular] Türeve düzgün yakınsama

[Ali ilik]

(h->0) lim [ INT (a'dan b'ye) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] dt ] =

(h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye) [ (f(x+h,t) - f(x,t)) ] dt ]=

(F, [a,b] de ve hem a'nın hem b'nin h komşuluğunda türevlenebilen bir
fonksiyon olmak kaydıyla (a da sağdan, b de soldan türevli olmayı türevli
olma kabul edelim.), dF(x,t)/dx=f(x,t) olmak üzere)

(h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye) [ (F'(x+h,t) - F'(x,t) ] dt ]=

(h->0) lim [ (1/h) [ [ (F'(b+h,t) - F'(a+h,t) ] - [F'(b,t) - F'(a,t) ] ] ] =


(h->0) lim [ [(1/h) (F'(b+h,t)- (F'(b,t) ] - [(1/h) (F'(a+h,t)- (F'(a,t) ] ]
=

(h->0) lim [ [ f(b+h,t)] - [f(a+h,t)] ] = f(b,t)-f(a,t)  (1)

DiÄŸer yandan,

 INT (a'dan b'ye) [ lim (h->0) [ (f(x+h,t) - f(x,t))/h ] ] dt  =

INT (a'dan b'ye) [ f'(x,t)] dt = f(b,t) - f(a,t) (2)

(1) ve (2) 'nin eşitliğinden limiti içeri alabildiğimiz ortaya çıkar.

"Lütfen "türev oranının türeve düzgün yakınsaması (uniform
convergence)" demeyin, yani o zaman tabii öyle de, hangi koşullarda
böyle bir şey geçerli olur."

Neden demeyelim ki? Bir limitin, yakınsamanın hangi durumda var olduğunu
biliyorsun. Dizilerde, fonksiyonlarda limit tanımı...Bu soru için elimizde
özel bir fonksiyon var türeve ilişkin hepsi bu sadece. Özel bir limit sorusu
olarak deltayı ya da N i bulmak yeterli olur.

Bildiğimiz yakınsama-limitin varlığı- hadisesi. Epsilon-delta metoduyla
uygun bir delta bulabildiğimiz zaman. Ya da türevli olduğu hazır verildiği
zaman. Klasik bir limit sorusu. Çok değişkenli fonksiyonlarda limit bulma
konusu...

"NOT: f'nin verili aralıkta sürekli olması yeter mi? Yetmezse neden yetmez?"

Yetmez, çünkü f'(x,t) yoksa sorudaki integralden bahsedemeyiz. Türevli
olmalı yani, hatta sürekli türetilebilir olmalı [a,b] de ya da türevleri tek
yanlı olarak tanımlarsak, (a,b) de.

"Hangi koşullarda böyle bir şey olur bilemiyorum.
f sürekli türevlenebilir olsun (C^1 yani) dedim, bu durumda
G_n(x) = sin^2 nx  eğer x € [0,pi/2n] ise ve G(x) = 0 eğer x €
[pi/2n,1 ise] fonksiyonu 0 sabit fonksiyonuna yakınsar ama düzgün
yakınsamaz. 0 sabit fonksiyonu ise düzgün sürekli bir fonksiyon yani
limit fonksiyonunun düzgün sürekli olmasını kullanamayız.

Öte yandan hissediyorum ki türev oranı özel bir fonksiyonlar dizisi
(ya da fonksiyonu) veriyor bize. Yani sanki g_h(x) = (f(x+h,t) -
f(x,t))/h olarak tanımlanırsa, limit fonksiyonu df/dx'in sürekli
olması (ya da düzgün sürekli, nasılsa kapalı bir aralıktayız)
yakınsamanın düzgün olmasına yetiyor.

Eğer bu dediğimi kanıtlayabilirseniz (türev oranı fonksiyonlarının
alelade fonksiyonlardan daha düzgün yakınsadığını) ya da karşı örnek
bulabilirseniz (türev oranı fonksiyonunun sürekli df/dx fonksiyonuna
abuk sabuk yakınsadığı) ne güzel olur.
"
Bu kısmı biraz daha açar mısın? Ayrıntılı anlatır mısın ?

Ali

2006/11/5, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
>
> Merhaba,
>
> Elimde lim (h-->0) Ä°NT a,b    (f(x+h,t) - f(x,t))/h  dt
> gibi bir limit var.
> Limiti integralin içine almak istiyorum. Ki böylece bu f'nin x'e göre
> kısmi türevinin t'ye göre integraline eşittir diyebileyim.
> Bunu hangi durumlarda yapabilirim, neye ihtiyacım var.
> Lütfen "türev oranının türeve düzgün yakınsaması (uniform
> convergence)" demeyin, yani o zaman tabii öyle de, hangi koşullarda
> böyle bir şey geçerli olur.
>
> Hangi koşullarda böyle bir şey olur bilemiyorum.
> f sürekli türevlenebilir olsun (C^1 yani) dedim, bu durumda
> G_n(x) = sin^2 nx  eğer x € [0,pi/2n] ise ve G(x) = 0 eğer x €
> [pi/2n,1 ise] fonksiyonu 0 sabit fonksiyonuna yakınsar ama düzgün
> yakınsamaz. 0 sabit fonksiyonu ise düzgün sürekli bir fonksiyon yani
> limit fonksiyonunun düzgün sürekli olmasını kullanamayız.
>
> Öte yandan hissediyorum ki türev oranı özel bir fonksiyonlar dizisi
> (ya da fonksiyonu) veriyor bize. Yani sanki g_h(x) = (f(x+h,t) -
> f(x,t))/h olarak tanımlanırsa, limit fonksiyonu df/dx'in sürekli
> olması (ya da düzgün sürekli, nasılsa kapalı bir aralıktayız)
> yakınsamanın düzgün olmasına yetiyor.
>
> Eğer bu dediğimi kanıtlayabilirseniz (türev oranı fonksiyonlarının
> alelade fonksiyonlardan daha düzgün yakınsadığını) ya da karşı örnek
> bulabilirseniz (türev oranı fonksiyonunun sürekli df/dx fonksiyonuna
> abuk sabuk yakınsadığı) ne güzel olur.
>
> NOT: f'nin verili aralıkta sürekli olması yeter mi? Yetmezse neden yetmez?
>
> --
> How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> leaves 76 every time.  ~Author Unknown
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061107/b398be04/attachment.htm