Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

[Ali ilik]

Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti cümleniz:

 "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok sanssiz
bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."

Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her sınırlı kümenin
sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır noktalarına
sahip oluyordu.

Ancak 2 gündür biraz şanslıyım,  sınırlı bir küme olan boş kümeyi aldım ve
sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin kendisini
buldum.

Mehmet,

E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde aradığım gibi
bir küme olmuyor E^n, değil mi?

Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir tane var
olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem boş kümeden
hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama boş kümeden
yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş kümenin de
sınır noktası yoktur.

Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu, verilen her M
pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı olurdu.
Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme sınırlı bir
kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)

Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)

*Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için konuşuyoruz tabi)?*

Ali



19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de hiç
> sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
> noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
> kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir, bazıları
> ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
> supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için yetiyormuş.
>
> Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık. Çünkü
> sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
> değildir.
> Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin sınır
> noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> sınırlıdır.
>
> Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer tekparça
> olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
> alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A hem
> de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c = BOŞKÜME
>
> Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası olmaması
> için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin bu
> parçalardan birisi olması.
>
> 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> >
> >
> >
> > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok sanssiz
> bir
> > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> >
> > Ali
> >
> >
> > ________________________________
> >
> >
> > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf
> > Of Ali ilik
> > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > To: matematik dünyası
> > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
> küme
> > var mı?
> >
> >
> >
> >
> >
> > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini arıyorum.
> >
> >
> >
> >
> >
> > Böyle bir küme bilen var mı?
> >
> >
> >
> >
> >
> > Ali
> > --
> > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > The Universe Within:
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > MIT OpenCourseWare:
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
>
>
> --
> How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> leaves 76 every time.  ~Author Unknown
>



-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061119/911d7ee5/attachment.htm