[MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi

[Kerem Altun]

C fonksiyonun tanim kumesi olarak mi daha ilginc? Eger oyleyse turev
tanimini degistirmek gerek biraz galiba, cunku:

"h, R'den secilmeli elbet. Ve IhI'den sozedildigine gore, IhI = max{h, -h}
olmali, yani R'de sadece toplama degil, cikarma, toplamanin etkisiz elemani
0 ve bir de siralama olmali."

Fonksiyonun tanim kumesine R demistik. Elbette ki h'yi de R'den secmek
gerek, ama kompleks sayilar siralanamaz. Yani MD'de oyle yaziyordu, ben
anlamamistim o teoremi. Bal gibi de siralayabiliriz bence, sayiyi kutupsal
koordinatlarda (r,teta) diye yazip alfabetik siralama yapsak olmuyor mu?

Kompleks analize benzer bir dersin muhendislere verilen versiyonunu almistim
seneler once, turev tanimi boyle degildi zaten.

Kerem


On 6/19/07, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
>
>
>
> Toplama, cikarma ve bolme yapilabilen ve limit alinabilen her yerde turev
> alinabilir. (Aciklamalar geliyor.)
>
> Yalniz 0'dan buyuk en kucuk sayi varsa, yani yapi discrete ise o zaman
> (gorecegimiz uzere) her sey limit olabilir ve turevin manasi kalmaz.
>
> Turevin tanimini gozden gecirelim.
>
> Once reellerde calisalim.
>
> f '(x) = lim_{h à 0} (f(x+h) – f(x))/h.
>
> Bu ne demektir? "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki,
> her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman I(f(x+h) – f(x))/h – f
> '(x)I < epsilon" demektir.
>
> Boyle bir tumcenin anlamli olmasi icin ne gerekiyor? Bu asamada reelleri
> unutuyoruz ve tanima anlam vermeye calisiyoruz.
>
> f '(x) yerine g(x) yazalim ve sonda beliren Ix – yI mutlak degeri yerine
> d(x, y) yazalim. O zaman turevin tanimi su hale gelir:
>
> g(x), f(x)'in turevidir ancak ve ancak, epsilon > 0 ne olursa olsun oyle
> bir delta > 0 vardir ki, her h icin, eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman
> d(f(x+h) – f(x))/h, g(x)) < epsilon.
>
>  "epsilon > 0 ne olursa olsun oyle bir delta > 0 vardir ki, her h icin,
> eger IhI < delta ve h neq 0 ise o zaman d(f(x+h) – f(x))/h, g(x)) < epsilon"
> tumcesinin anlamli oldugu her yerde turev vardir.
>
>
>
> Devam ediyorum.
>
> f fonksiyonu bir R kumesinden bir S kumesine gitsin. O zaman tanimin
> anlamli olmasi icin g de R'den S'ye gitmek zorunda.
>
> x + h'den sozettigimize gore R'de toplama olmali.
>
> f(x+h) – f(x))/h'den sozettigimize gore S'te toplama, cikarma ve bolme
> olmali. Sagdan mi soldan mi bolecegiz tartismasi olmasin diye carpmanin
> degismeli oldugunu varsaymakta yarar var.
>
> d ise S x S kumesinden bir baska T kumesine gidebilir.
>
> epsilon T kumesinden secilmeli ve T kumesi sirali olmali, cunku "d(f(x+h)
> – f(x))/h, g(x)) < epsilon" derken T kumesindeki elemanlari
> karsilastiriyoruz.
>
> h, R'den secilmeli elbet. Ve IhI'den sozedildigine gore, IhI = max{h, -h}
> olmali, yani R'de sadece toplama degil, cikarma, toplamanin etkisiz elemani
> 0 ve bir de siralama olmali.
>
> Turevin varsa biricik oldugunu istemek simariklik olmaz. Eger R'nin 0'dan
> buyuk en kucuk elemani varsa, o zaman delta'yi bu eleman olarak alirsaniz,
> "IhI < delta ve h neq 0" kosulu hic saglanmadigindan, d(f(x+h) – f(x))/h,
> g(x)) < epsilon esitsizligi her g icin saglanir ve hos olmaz. Dolayisiyla
> R'deki siralamanin yogun olmasinda yarar var. Ornegin Z = R olmasin.
>
>
>
> Boyle bakildiginda ve mutlak deger, d ve T en dogal bicimde secildiginde,
> sozunu ettigin fonksiyonlarin turevleri vardir ve turevleri tahmin ettigin
> gibidir. Ama Q pek ilginc degil. C daha ilginc bu kapsamda.
>
>
>
> Ali
>
>
>  ------------------------------
>
> *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Kerem Altun
> *Sent:* Tuesday, June 19, 2007 6:02 PM
> *To:* MD-sorular at matematikdunyasi.org
> *Subject:* [MD-sorular] "yine oss" mailleri ve otesi
>
>
>
> Soru yanlis manasinda yazmamistim zaten, ama tabii benim soruma da cevap
> olmus oldu bu. Bir soru daha sormustum, unutulmasin diye tekrarlayayim:
> rasyonel sayilarda tanimli fonksiyonlarda turev alinir mi?
>
> Yani ornegin:
>
> a) f(x) = x^2 , f: Q --> Q
>
> b) f(x) = sin(x) , f: Q --> R
>
> fonksiyonlarinin her x \in Q icin turevi var midir?
>
> Bana neden olmasin gibi geliyor ama ornegin son MD'de reel sayi dogrusu
> uzerinde rasyonel sayilarin aralarinda delikler oldugunu gormustuk. Rasyonel
> sayi dogrusu (reel sayi dogrusu varsa bu neden olmasin diye dusunuyorum)
> uzerinde delik yok ama galiba??
>
> Simdi aklima gelen bir soru daha: f:Q --> Q bir fonksiyonsa f ' :Q --> Q
> bir fonksiyon olmayabilir mi?
>
> Kerem
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070620/4a504b30/attachment.htm