Re: Yanıt: Re: [MD-sorular] olasılık kokan bir geometri sorusu

[=?utf-8?q?ihsan=20y=FFfffffccel?=]

Sizinde belirttiginiz gibi 1 boyutta olasiligin 1/3 olmasi gerektigi cizimle cikiyor, ama diger boyutlar icin gerekli hesaplar uzerinde dusunmedim(?)
  Yalniz cok ilginc bir sonuc ortaya cikti. k boyuttaki ortalama uzaklik k cinsinden bir fonksiyonla ustten sinirli ve limiti de sanirim o fonksiyon. (Ve bu fonksiyon inanilmaz derecede sade) Fakat iyi bir alt sinir bulamadim. Dahasi asil onemli olan su: Belli ki duzgun bir fonksiyon olmayan bu ortalama uzaklik icin bir asimptot bulunabilir mi? 
Bulunmamis sonuclar uzerinde gizemli bir konusma oldu gibi...
  Aslinda farklı bir bakis acisini   yakalamayi da basaran  (kemal ılgar)ın dusuncesi de soyleydi:
   
  Oncelikle, isi olasiliga vurursak, m boyutlu kupte ortalama uzaklik (yani uzaklik degiskeninin  
soyle bulunabilir: 

Uzay m boyutlu olsun. Noktalarimiz (x1,x2,..,xm) ve (y1,y2,..,ym) olsunlar. Her biri 0 ile 1 arasinda birbirinden bagimsiz 2m degiskenimiz oldugu icin 2m boyutlu hiperkup uzerinde integral alacagiz (yani [0,1] araliginin 2m kere kendiyle carpimi uzerinde). Bu iki noktaya karsi gelen olasilik ise 

dx1 dx2 ... dxm dy1 .. dym 

ile verilir, yani boyutlari dx1,...,dym olan kupun hacmi. Tabi burada surekli olasilik kullaniyoruz, yani noktalarin degil ama noktalar etrafindaki cok kucuk araliklarin olasiligina bakiyoruz. Bir de tum degiskenlerimiz birbirinden bagimsiz ve 0 ile 1 arasinda rastgele olduklari icin de olasilik hacimle esdeger (duzgun/uniform dagilim durumu). 

Dolayisiyla beklenti (expectation) degeri: 

int [(f(x1,x2,...ym) dx1 dx2 ... dym] 

burada integral 2m boyutlu kup uzerinde ve f fonksiyonu da m boyutta uzaklik formulu: 

f(x1,...ym) = kok( (x1-y1)^2 + ... (xm-ym)^2 ) 

Cok katli integrallerden bildiginiz uzere, Fubini teoremi bize integralin herhangi bir sirada alinabilecegini soyler. 

Bu integrali kolayca hesaplamanin bir yolu var mi bilmiyorum, sanmiyorum da. Ama degisken degistirerek integrali m boyutlu integrale indirmek mumkun: 

x1-y1'i ele alalim. x1-y1, -1 ile 1 arasinda degisen degerler alabilir. u -1 ile 1 arasinda ise, x1-y1=u olma olasiligi nedir? Tabii surekli olasilik kullanacagimiz icin x1-y1=u derken u degerinin du kadar oynamasina izin veriyoruz. Bunu bir duzlem uzerinde resme dokerseniz y=x-u dogrunun grafiginin [0,1]x[0,1] karesi icinde kalan kismi etrafinda du kalinliginda bir seridin cozum kumesi oldugunu gorursunuz. Yani x1 ve y1 bu serit icinde iseler x1-y1 degeri u degeri etrafindaki du kalinliktaki aralik icinde kalacaktir. x1 ve y1'in bu serit icine dusme olasiligi, seridin alaninin birim karenin alanina oranidir, bu oran da seridin alani olan (1-|u|)du 'dur. 

Dolayisi ile x1-y1 = u1 dersek, x1 ve y1 birim karede dolasirken alinacak 

(x1-y1)^1 dx1dy1 

integrali, aslinda u1 degiskeni -1'den 1'e degisirken alinacak 

u1^2 (1-|u1|)du1 

integralidir, ya da 0'dan 1'e 

2 u1^2 (1-u1) du1 

(aradaki bosluklar carpim anlaminda). 

En bastaki ilk integraldeki tum degisken ciftlerini bu sekilde degistirirsek elde edilen ifade 

beklenti=expectation=orrtalama uzaklik= 

2^m int(g(u1,..,um)du1 du2 ... dum) 

burada 
g(u1,..,um) =kok(u1^2+ ...+ um^2) (1-u1) (1-u2) .. (1-um) 

(bosluklar yine carpim anlaminda) ve integral m boyutlu (birim) kup uzerinde. 

Ancak bu integrali hesaplamak da kolay gozukmuyor. n=1 icin kolay, ve beklenen 1/3 sonucunu veriyor.
   
  ihsan



       
---------------------------------
Yahoo! kullaniyor musunuz?
Istenmeyen postadan biktiniz mi? Istenmeyen postadan en iyi korunma Yahoo! Posta'da
http://tr.mail.yahoo.com
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070504/33ca03a7/attachment.htm