[MD-sorular] pi yi anlamak

[ali nesin]

<< Bunlar yanitini ogrendigim sorular. Bir de hala emin olamadiklarim var
asagida, yukaridakilerin bazilarini aciklamak icin bunlari bilmek gerek
galiba.>>

-- exp(x) fonksiyonunun turevi neden kendisidir? (exp(x)'in tanimi galiba bu
gerci)

Exp(x)'in tanimina gore degisir yanit. 

 

Bence en dogal tanim sureci sudur:

1) f(x) = x^n fonksiyonunun bir antiturevi vardir, EGER n, -1 degilse, yani
f(x) = 1/x degilse.

2) Calculus'un temel teoremi: f(t) surekli fonksiyonunun a'dan x'e
integralinin x'e gore turevi f(x)'tir. Demek ki her surekli fonksiyonun
antiturevi vardir. Dolayisiyla f(x) = 1/x fonksiyonunun da x > 0 iken bir
antiturevi olmali.

3) ln x, f(t) = 1/t fonksiyonunun 1'ten x'e olan integrali olsun. ln x'in
turevi 1/x'tir. Buradan ln fonksiyonunun bircok ozelligi cikar.

4) ln x, 0'dan buyuk sayilar icin tanimlanmistir ve R^>0 ustune birebirdir.
Dolayisiyla tersinir bir fonksiyondur. Tersi exp olsun. Buradan exp' = exp
kanitlanir.

 

Bir baska yontem:

Exp, y' = y ve y(0) = 1 denkleminin tek cozumu olsun.

 

Bir baska yontem (matematiksel olarak en dogrusu): exp, Taylor serisiyle
tanimlansin.

-- a,b \in R icin a^b ifadesinin anlami ve tanimi 

 

Iste tanim: a^b = exp(b ln a)

-- Permutasyon fonksiyonu diye bir konu neden var? Farkli birseymis gibi
anlatiliyor; ozel bir uygulama alani mi var?

 

Ne demek bilmiyorum. Aciklarsan sanirim anlatabilirim.

-- f(x)+g(x) ile (f+g)(x) arasinda ne fark vardir? Burada + herhangi bir
islem olabilir, carpma, convolution gibi. 



Hicbir fark yoktur. Cunku...

X bir kume olsun. A, ustunde + adini verdigimiz ikili bir islemin oldugu bir
kume olsun. Func(X, A), X'ten A'ya giden fonksiyonlar kumesi olsun. Func(X,
A) uzerine gene + olarak yazacagimiz su islemi tanimlayalim. f ve g, Func(X,
A) kumesinin iki elemani olsun. Func(X, A) kumesinin f + g diye bir
elemaninin tanimlayacagiz. Yani f + g, X'ten A'ya giden bir fonksiyon
olacak. Demek ki, X'in bir x elemani icin f + g fonksiyonunun x'te aldigi
(f+g)(x) degerini tanimlamaliyim. Soyle tanimliyorum: (f + g)(x) = f(x) +
g(x). Yani f + g fonksiyonunun tanimi geregi (f + g)(x) = f(x) + g(x)'tir.

 

 

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of Kerem Altun
Sent: Wednesday, May 23, 2007 3:14 PM
To: Ali İlik; MD-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] pi yi anlamak

 

Bence de guzel bi yazi. Ama olumsuz birsey yazmadim ki zaten, yorumumu
soyledim sadece. Soylediklerim yanlis da olabilir, emin degilim. Ama lisede
ogrencilere nedeni anlatilmadan bazi fonksiyonlarin turevi ezberletiliyor.
Ozellikle arcsin ve arctan icin boyle. Bana da ezberletmislerdi, ben de
anlamamistim 1/kok(1-x^2) nin trigonometrik fonksiyonlarla ne alakasi
oldugunu. Universite ogrencisiyken matematik dersi veriyordum, o zaman
anladim. (Ogrenciniz nerden cikti bu diye sorunca ister istemez dusunmek
gerekiyor uzerinde :) )Kafa karisikligi buradan da cikiyor. O konuda bir
tavsiyede bulunmak istemistim. 

Hatta aklima gelmisken yazayim lisede nedenini anlamadan ezberledigim
bagintilari, buradaki ogretmenler icin bir fikir olsun. Bir de ben lisede
matematige baya ilgili bir ogrenciydim, ortalama bir ogrencinin kafasinda
bunun birkac kati soru vardir herhalde. 

-- Trigonometride sin(a+b), cos(a+b) formulleri nereden cikar?

-- Trigonometride donusum ve ters donusum formulleri nereden cikar? (sanki
usttekinden farkli birseymis gibi anlatilmisti)

-- ln(x) fonksiyonunun turevi neden 1/x'tir? Logaritma felan yok turevde,
ustel fonksiyon da yok? 

-- arctan ve arcsin fonksiyonlarinin turevlerinin neden trigonometriyle
alakasi yoktur?

-- Bir fonksiyonun grafiginin altindaki alan neden turevi o fonksiyon olan
baska bir fonksiyonu kullanarak hesaplansin ki? Bunun teget egimiyle ne
ilgisi var? 

-- Grup, halka, cisim ne demektir, ne ise yarar? Niye ogretiliyor bunlar?


Bunlar yanitini ogrendigim sorular. Bir de hala emin olamadiklarim var
asagida, yukaridakilerin bazilarini aciklamak icin bunlari bilmek gerek
galiba. 

-- exp(x) fonksiyonunun turevi neden kendisidir? (exp(x)'in tanimi galiba bu
gerci)

-- a,b \in R icin a^b ifadesinin anlami ve tanimi 

-- Permutasyon fonksiyonu diye bir konu neden var? Farkli birseymis gibi
anlatiliyor; ozel bir uygulama alani mi var?

-- f(x)+g(x) ile (f+g)(x) arasinda ne fark vardir? Burada + herhangi bir
islem olabilir, carpma, convolution gibi. 

Simdi aklima gelenler bunlar, daha da vardir belki.

Kerem



On 5/23/07, Ali İlik <aliilik at gmail.com  <mailto:aliilik at gmail.com> > wrote:

1 tane de olumlu bir şey yazsaydın.

 


-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070523/8e3f1783/attachment.htm