[MD-sorular] Bir soru daha

[Gorkem Ozkaya]

p bir rasyonel sayi,
x 0'la 1 arasinda bir reel sayi ise
1 - px <= (1-x)^p olur.

 Eger hata yapmadiysam, analiz kullanmadan su sekilde ispatlayabiliriz.

(kucuk-esit, buyuk-esit notasyonu: <=, >= )
x >= 1/p ise, sag taraf ya negatif,
ya da 0 olacagindan esitlik apaciktir.
bu sayede genelligi yitirmeden
x <= 1/p diyebiliriz.

n ve m, p = (n+m)/n 'i
saglayan iki dogal sayi olsun.

m uzerinden tumevarim yapalim.

m = 1 icin ifademiz

1 - ((n+1)/n)*x <= (1-x)^((n+1)/n)

olur.

her iki tarafin n'inci kuvvetini alalim
ve biraz duzenleyelim. esitsizligimize
denk olan su ifadeyi elde ederiz:

1/(1-x) <= (1 + x/(n - nx - x))^n.

x <= 1/p varsayimi sayesinde
sag taraf iki pozitif real sayinin
toplaminin n. kuvveti oluyor.
binom aciliminin ilk iki terimini
alirsak, elde edecegimiz

1/(1-x) <= (1 + nx/(n - nx - x))

ifadesini kanitlamamiz yeterli
olacaktir.

ama kolayca gorulebilir ki bu ifade,
her zaman dogru olan

0 <= x^2

ifadesine denktir.

boylece m = 1 durumunu kanitladik.

simdi genel duruma gecelim:

n/(n+m)'den kucuk
bir x icin bize verilmis olsun.
y reel sayisini ve k dogal sayisini,
y = x(n+1)/n ve k = n +1 seklinde
tanimlayalim.


tumevarimin varsayimimizdan

1: (1 - y(k+ m - 1)/k) <= (1 - y)^((k+m-1)/k)

2: (1 - x(n+1)/n) <= (1-x)^((n+1)/n)

ifadelerini elde ederiz.

birinci ifadede  y ve k'yi yerlerine koyarsak

1: (1 - x(m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1))

olur.


simdi 2. ifadenin (n+m)/(n+1) inci kuvvetini alalim:

(1 - x (m+n)/n) <= (1 - x(n+1)/n)^((n+m)/(n+1)) <= (1 - x)^((n+m)/n)

yani istedigimiz gibi

1 - px <= (1 - x)^p
olur.

Gorkem

2008/4/12 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>:

>  Analiz kullanmadan su esitsizligi kanitlayabilir misiniz?
>
> 1'den buyuk bir kesirli p sayisi icin ve 0'la 1 arasindaki bir x gercel
> sayisi icin,
>
> 1 – px £ (1 – x)^p.
>
>
>
> Turev alarak kanitlamak kolay, hatta sadece kesirli degil, her gercel p
> sayisi icin dogru bu esitsizlik.
>
> Ama ben tumevarim filan gibi sadece temel yontemleri kullanmak istiyorum.
>
>
>
> Kanit basit olursa MD'ye alacagim, yoksa turev tanimlanana kadar
> bekleyecegim.
>
>
>
> Ali
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080424/11c6d3ba/attachment.htm