[MD-sorular] Re: Açık Gönderme (Open Mapping)

[E. Mehmet Kıral]

Tamam, oldu.
MD-sorulara yazmamın böyle bir etkisi oluyor nedense.

f = p o g olduğunu göstereceğiz. g : R^n --> R^n, x yöresinde bir
diffeomorfizma ve p de ilk m koordinata izdüşüm olmak üzere. Böylece
diffeomorfizmalar ve izdüşümler açık göndermeler olduğundan, f de öyle
olacak.

Df(x), m x n bir matris ve rank'ı m olduğundan m tane lineer bağımsız
sütunu var. Gerekirse f'nin değişkenlerinin adlarını değiştirerek, ilk
m sütunun lineer bağımsız olduğunu varsayabiliriz. (varsaymasak da
olur aslında ama kolaylık olsun diye öyle yapıyoruz).

r fonksiyonu son n - m koordinata izdüşüm olsun.

x --> g(x) = ( f(x) , r(x) ) ile tanımlanmış g = ( f, r) göndermesini ele alın.

g : R^n --> R^n ve Dg(x), bir blok köşegen matris.
Sağ alt blokta (n-m)x(n-m) bir birim matris var. Sol üst blokta ise
tecrit ettiğimiz k lineer bağımsız m-vektör, yani yine tersinir bir
matris.

Bu da demek oluyor ki Dg(x), tersinir. Hatta x'e yakın y'ler için
Dg(y) de tersinir.
Demek ki g yerel bir diffeomorfizmaymış, bu da açık bir gönderme
olduğu anlamına geliyor.

Ayrıca p o g = f olduğu için, f de x yerelinde açık bir gönderme.


2008/1/8, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> Merhaba,
>
> Şu iddia'nın doğru olması gerektiğine inanıyorum, ancak bir türlü
> kanıtlayamadım. Kanıtlar, ya da karşıörnek gösterirseniz sevinirim.
>
> f : U --> R^m olsun. Burada U, R^n'nin açık bir altkümesi, n > m.
>
> f 'nin en azından C^1 olduğunu varsayacağız, daha fazlası gerekiyorsa
> varsaymakta çekinmeyin.
>
> Bir x € U için rank Df(x) = m olduğunu varsayıyoruz, mümkün olan en fazlası.
>
> Bu durumda f 'nin x etrafındaki bir açık kümeyi yine bir açık kümeye
> götürdüğünü iddia ediyorum.
>
> NOT: Aslında tek bir noktada rank = m varsaymışım gibi gözükebilir,
> ancak fonksiyon en azından C^1 olduğundan, x'in açık bir
> komşuluğundaki her y için de, rank Df(y) = m olur.
> Belki C^1 bile gerekmiyordur ya, yine de koyalım, saçma sapan
> fonksiyonları düşünmeye gerek yok.
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>


-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")