[MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?

[berat okutan]

Hocam, son yazdığınız mail bu galiba. 
Kanitladiginizi sandiginiz teoremin yanlis oldugunu yazdigimi saniyorum.
A. Her değişmeli grubun, dereceleri p^n olacak şekilde devirli grupların çarpımı şeklinde gösterilebildiğini ve bu gösterimin tek olduğunu söyleyen bir teorem gördük bu sene. Buna göre pq (p ve q farklı asallar) dereceli değişmeli bir grup Cp X Cq (Cq X Cp ye izomorfik zaten) şeklinde gösterilebilir ancak. Ayrıca m ve n arasında asalsa Cm X Cn = Cmn olduğunu da gördük. Bu teoremden pq elemanlı bir değişmeli grubun devirli olduğu geliyor zaten. Şimdi ben kendi ispatımı (bu sefer doğru olarak) yazıyorum. q>p olsun. Önce 1 den farklı tüm elemanların derecelerinin q olamayacağını göstereyim: q asal olduğu için, tüm farklı q elemanlı devirli grupların (bunlar Q1,Q2,...,Qk olsun) 1'den başka kesişimi yoktur. Her elemanın derecesi q olduğundan,Qi lerin birleşimi G'ye eşittir. Burdan qp=k(q-1) +1 olur. O zaman k(q-1)=qp-1=qp-p+p-1=p(q-1)+(p-1) olur. O zaman da (q-1)|(p-1) olur ve q>p, p>1 olduğu için bu çelişkilidir. O zaman derecesi p veya qp olan bir eleman var. qp varsa zaten devirli. Diyelim p dereceli bir eleman h var. H=<h> olsun.G değişmeli olduğundan H normaldir. O zaman G/H q elemanlıdır, böylece devirlidir. gH G/H ın üreteci olsun. g'nin derecesi en az q dur (yoksa gH ın ürettiği grup q dan az elemanlı olurdu.). q>p olduğundan g nin derecesi ya q yada qp dir. qp ise G devirlidir. qp değilse q'dur, o zaman gh a bakalım. gh 1 e eşit değildir yoksa g'nin derecesi p olurdu. (gh)^p=g^p (grup değişmeli olduğu için) bu da 1'e eşit olamaz.(gh)^q =h^q bu da bir değildir çünkü p q'yu bölmez. Böylece gh ın derecesi pq dur.Grup G devirlidir.

From: nesin at bilgi.edu.trTo: tazi55 at hotmail.com; tibetefendi at yahoo.com; md-sorular at matematikdunyasi.orgSubject: RE: [MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?Date: Fri, 7 Nov 2008 20:27:43 +0200





Kanitladiginizi sandiginiz teoremin yanlis oldugunu yazdigimi saniyorum.
A.
 




From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of berat okutanSent: Friday, November 07, 2008 6:05 PMTo: tibetefendi at yahoo.com; MD MDSubject: Re: [MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?
 
g nin derecesi en az q olmak zorundadır demem gerekirdi.(Olmasa gH ın ürettiği grup q dan az elemanlı olurdu.) O zaman ya q ya da pq olur zaten. İki durum da bizim işimizi görüyor. 



Date: Fri, 7 Nov 2008 03:50:07 -0800From: tibetefendi at yahoo.comSubject: RE: [MD-sorular] Bir abelyen grup p*q elemanliysa neden devirli olmak zorundadir?To: tazi55 at hotmail.com; md-sorular at matematikdunyasi.org




Merhaba,
 

H p dereceli bir altgrup ve H ı üreten eleman h olsun. H değişmelidir, dolayısıyla normaldir. G/H (quotient group) q elemanlı olmak zorunda olur çünkü H'ın "left coset"lerinin sayısı q'dur. G/H derecesi q olduğu için devirlidir, G/H ı üreten eleman gH olsun. O zaman g'nin derecesi q olur. Böylece gh'ın derecesi qp dir. 
Evet, harika görünüyor.Yalniz, "G/H ı üreten eleman gH olsun. O zaman g'nin derecesi q olur." kismini anlamadim.Aradaki baglantiyi kuramiyorum. Bir de karsi örnek buldum. Örnegin grubumuz G=Z/6Z olsun. H={[0],[2],[4]} olsun. g=[1] diyelim. Bu durumda gH elemani G/H'nin üretecidir ama g'nin derecesi q=2 degil.Simdi burada g'yi [1] yerine [3] secseydik. gH yine üretec oluyor. ama bu sefer dediginiz gibi derecesi 2 oluyor. Mesele g'nin net olmamasi. Yani gH üretec dediginizde gH'yi olusturan tek bir g'den bahsediyor olmuyoruz.Üretec gH olsun, gH yi olusturabilen g lerin derecesinin p olamayacagini göstersek yetiyor. Cünkü 1 olamayacagini biliyoruz. (Eger 1 olsaydi G/H'nin derecesi 1 olurdu ama 1 asal degil) geriye q veya pq olabilme ihtimali kaliyor. Ikisi de isimizi görüyor. Devamini getiremedim.Sanki bir seyler olacak gibi.Tibet
 



Connect to the next generation of MSN Messenger  Get it now! 
_________________________________________________________________
Discover the new Windows Vista
http://search.msn.com/results.aspx?q=windows+vista&mkt=en-US&form=QBRE
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081108/1f3feeff/attachment.htm