[MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi

[tibet efendi]

Tamam anladim biraz. Ama o zaman da su takiliyor kafama, belki cok basit ama cevabini bilmiyorum, sormam gerek:
 (N, +, x, <, 0, 1) yapisinin ne oldugunu biz nereden biliyoruz? 
Yani dogal sayilarin tanimini nasil yapiyoruz?

Dedik ki: 
Dogal sayilar yapisinda dogru olan ama Peano Aksiyomlarindan (toplama carpma dahil) hareketle kanitlanamayan önermeler vardir.
Ama "dogal sayilar yapisinda dogru" oldugunu iddia ettigimiz o önerme, neye göre dogru, kime göre dogru? Dogrulugun tanimi ne? Dogal sayilar yapisinda dogru olmak ne demek?

Biz dogal sayilari zaten Peano Aksiyomlariyla tanimlamiyor muyuz?
O zaman dogal sayilar yapisi, Peano Aksiyomlarinin tanimlamaya gücünün yettiginin ötesinde bir sey midir?
Öyleyse nasil bir seydir?
Ne oldugunu biz de bilmiyorsak herhangi bir önermenin o yapida illa ya dogru ya da yanlis oldugunu (ikisi birden olamadigini) nereden biliyoruz?

Ayni sey Reel sayilar icin de gecerli. Onu da aksiyomlarla tanimladik sonucta.

Bana yaptigimiz sey su gibi geliyor: 
"Aksiyomlarla tanimladigimiz yapidan o aksiyomlarin tanimlayabildiginin ötesinde bir sey olmasini bekliyor sonra öyle olmadigini görünce hayal kirikligina ugruyoruz"

Kafam o kadar karisti ki gögsüm sikisti.
Sanki bilmem gereken cok basit bir seyi bilmiyorum da o yüzden kafan karisiyor.

Neyi atliyorum? ya da nerede hata yapiyorum?

tibet



--- On Wed, 12/30/09, Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> wrote:

From: Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
Subject: Re: [MD-sorular] Gödel'in eksiklik teoremi
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Wednesday, December 30, 2009, 2:52 PM


Sorunu anlatacagim ama once perspektifini degistirmem lazim.

Iki turlu teori olur dogada:
1) Grup teorisi gibi, aksiyomlarini zaten tahmin ettigin teoriler. Bunlar genellikle sonlu sayida aksiyom icerirler. Oyle olmasa da en azindan recursive'dirler.
2) Elinde oncelikli olarak bir teori degil matematiksel bir yapi olur. Ornegin (R, +, ., <, 0, 1) gibi (gercel sayilar yapisi). Buna dilersen exp ve sin ve cos fonksiyonlarini da ekleyebilirsin. Simdi bu yapida dogru olan tum onermeleri al. Bu bir teoridir ve elbette celiskisi olmayan bir teoridir (cunku teorinin onermelerini dogrulayan bir yapi vardir, dolayisiyla teoriden celiski cikamaz.). Ustelik herhangi bir onerme icin, ya bu onerme ya da bu onermenin degillemesi teoridedir. Yani bu tam bir teoridir. Bu teori recursive midir? Recursive olmasa da recursively enumerable midir? Ana soru bu. Cunku neyin teoride neyin teoride olmadigini bilmen lazim teorinin bir ise yaramasi icin.

Birincisinde teoriden basliyorsun, ikincisinde yapidan.

1) Yukardaki birinci durumdaki gibi Peano aritmetigini alabilirsin ya da grup teorisini alabilirsin ya da "theory of totally dense ordered sets without end points"i alabilirsin ve bu teorilerin tam olup olmadigi sorusunu sorarsin. Ilk ikisi tam degildir, ucuncusu tamdir.
2) Ikinci durumdaki gibi bir yapi alip, bu yapinin teorisini aksiyomlayan sonlu, o da olmadi recursive, o da olmadi recursively enumerable bir aksiyom sistemi bulmak istersin.

Simdi (N, +, x, <, 0, 1) yapisi (yani dogal sayilar yapisi) cok dogal bir yapidir. Bu yapida dogru olan onermeleri recursively enumerable bir bicimde yazabilir miyim? Daha temel bir soru: Sonlu sayida onermeyle bu teoriyi aksiyomatize edebilir miyim? Yani bu yapida dogru olan her onerme, onceden belirlenmis sonlu sayida aksiyomun bir sonucu mudur? yanit bildigin gibi olumsuz.

Ali



tibet efendi wrote:
> Gödel'in eksiklik teoremi'yle ilgili kafama takilan bir sey var.
> 
> Gödel'in eksiklik teoremi su:
> Dogal sayilarin toplamasini ve carpmasini iceren "recursively enumerable" bir aksiyom sistemi, celiski üretmiyorsa eksik olmak zorundadir.
> Yani o sistemde dogrulugu ve yanlisligi kanitlanamayan önermeler olmak zorundadir.
> 
> Bu teorem neden bu kadar büyük sansasyon yaratmis anlamiyorum.
> 
> 1) Gödel bunu kanitlamak icin "bu önerme kanitlanamaz" gibi gicik ve kendine gönderme yapan bir önerme yazilabilecegini gösteriyor.
> Iyi de bu kendine gönderme yapan gicik önermeleri bir sekilde yasaklarsak, belki de sorun cözülecek.
> Yani bu gicik önermeler, öyle kimsenin de "bunun dogrulugunu ya da yanlisligini kanitlayamazsam dünya bana zindan olur" diye düsündügü önermeler degildir herhalde.
> 
> Neden bütün önermelerin dogrulugunu ya da yanlisligini kanitlamak bu kadar mühim? Bir örnekle acayim:
> 
> 2) Grup teorisine bakalim. Grup teorisinde su cümlenin ne yanlisligini ne de dogrulugunu kanitlayabiliriz: "her x ve y icin xy=yx esitligi dogrudur".
> Cünkü abelyen gruplar vardir, abelyen olmayan gruplar vardir.
> 
> Yani grup aksiyomlari "eksik"tir.
> Ama bu bizi rahatsiz etmiyor.
> Neden rahatsiz etsin ki?
> 
> Ayni sekilde diyebilmeliyiz ki:
> "gödel'in gicik cümlesinin dogru oldugu, dogal sayilar aritmetigini iceren modeller vardir,
> ama ayni sekilde o cümlenin yanlis oldugu dogal sayilar aritmetigini iceren modeller vardir."
> 
> Dolayisiyla aksiyom sistemi o cümlenin dogrulugunu ve yanlisligini kanitlamaya yetmiyor.
> Ne kadar tamamlamaya calisirsak calisalim, hep de eksik kalacak.
> Bence bunda da bir sorun yok.
> 
> Neden Gödel'in kaniti matematigin temellerini sarsiyor? Neresi sarsiyor?
> 
> Benim göremedigim, atladigim sey nedir?
> 
> tibet
> 
> 
> ------------------------------------------------------------------------
> 
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular




      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20091230/5981dc98/attachment.htm