[MD-sorular] Faktöryel

[Cem Kocagil]

Sayın Değirmencioğlu ne istediğinizi anlayabilsem o yönde bir şey yapacağım
ama anlayamadım. Gamma fonksiyonu, faktöriyeller falan hep matematikçilerin
keyiflerine göre tanımladığı fonksiyonlardır.

Son kez bildiğim kadarını özetliyorum sizin için.

Basit faktöriyel tanımı n doğal sayıları için geçerli ve 1'den o sayıya
kadar olan doğal sayıların çarpımı = n! şeklinde tanımlanıyor.

Gamma fonksiyonu ise başta apayrı bir fonksiyon, integral ile tanımlanıyor
ve yazdığınızın aksine reel kısmı negatif doğal sayı veya sıfır olmayan
bütün karmaşık sayılarda (evet -1/2'de de) tanımlı ve yakınsak. Sizin
verdiğiniz integralin sonucu 3kök(pi)/4 çıkıyor hatta.

Şu tanımlar ile negatif sayıların faktöriyelini bulmak *imkansızdır*.
Sormaya gerek bile yok, çünkü yok böyle bir şey. Faktöriyel sadece doğal
sayılarda tanımlı.

Görüyoruz ki pozitif doğal sayılar için Gamma(n+1) = n! eşitliği her zaman
geçerli.

O zaman eğer bütün tanımlı z'ler için Gamma(z+1) = z! dersek, faktöriyelin
tanım kümesini bütün kompleks düzleme genişletmiş oluruz. Bu, yukarıdaki
tanımlardan çıkan bir sonuç değil. Kanıt hiç değil. Tamamen bizim faktöriyel
fonksiyonunu analizde kullanma isteğimizden kaynaklanan keyfi bir tanım.
Bunun kanıtı olmaz, çünkü bu bir teorem veya iddia değil, tanımın kendisi
bu.

2009/5/12 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sayın Kocagil;
> İşte size bir "faktöryel" tanımı:
> "1 den n' e kadar pozitif tamsayıların çarpımına "faktöryel" denilir ve n!
> ile gösterilir."
> (İstersem negatif sayıların faktöryeli içinde bir "tanım" uydururum,hatta
> öngördüğünüz
> gibi sanal sayılar içinde bir tanım" patlatabilirim" ama bunlar bir işe
> yararmı? Bilmem!)
> Bu tanımı negatif sayılara nasıl uygulayacaksınız?Gama fonksiyonun tamami
> tanımında n yerine n=-1/2 koduğunuzda Gamma(n)=(n, 0 dan sonsuza
> Tamami(e^-x/x^(3/2))
> bulursunuz;bu tamami tanımsızdır(sonsuzdur).O zaman negatif sayıların
> "faktöryeli" ne oldu?
> Demek ki tamami ile tanımdan ve benim verdiğin tanımdan negatif kesirli
> sayıların faktöryeli
> çıkmıyor.O zaman (-1/2)!=Kök(pi) nasıl yazılabiliyor? O verdiğiniz linki
> bende biliyorum ve baktım.
> Evet dediğiniz gibi yazıyor ama bu benim soruma yanıt olmuyor.Soruyu tekrar
> soruyorum:
> Yukarda verdiğim "kendi" tanımımdan; üst düzeyli "tamami" ile yapılan
> tanımdan; eksi kesirli sayıların
> faktöryeli "üretilemediği" halde; pozitif tamsayılar için geçerli
> Gamma(n+1)=n! kullanılarak
> (-1/2)!=Kök(pi) nasıl yazılıyor? Kanıt gerekli bunu yazabilmek için.İster
> "MathWorld" de,
>  isterse "yukarıda ki kitabta" kanıtsız yazsın, beni bağlamaz.Ancak
> Gamma(n+1)=n!
> kullanılmadan yapılacak bir kanıtlama beni inandırır, başkası değil!
> Konu çok uzadı;dediğim gibi bir kanıt gelmezse,artık yanıt yazmayacağım.
> Dostların sabrını zorlamamak gerek!
> Saygılarımla..
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090512/ec98e9ec/attachment.htm