[MD-sorular] olasılık sorusu

17 Mayıs 2009 Paz 01:12:27 EEST

Lebesgue olcusune gore ornegin rastgele bir sol nokta nasil secilebilir?
Bana secilemez gibi geliyor ama konuya cok da hakim degilim, o yuzden
soruyorum. Lebesgue olcusu uniform secime karsilik gelmiyor mu?

Kerem

2009/5/17 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>

> ben rastgeleyi su sekilde düsündüm.
> önce rastgele bir sol nokta seciyorsunuz lebesgue ölcüsüne göre. (bu ne
> demek? örnegin belli bir sayiyi secmek olasiligi sifir, negatif bir sayi
> secme olasiligi 1/2, n teksayi ve pozitif olacak sekilde bir n icin (n, n+1)
> araligina denk gelme ihtimali 1/4, gibi...)
> sonra da yine lebesgue ölcüsüne göre sag noktayi rastgele seciyorsunuz.
> Benim verdigim cevap bu sekilde rastgele secildigi düsünülerek verilmis bir
> cevap.
>
> Ama baska sekilde de rastgele secebilirsiniz. örnegin önce rastgele
> araligin orta noktasini secersiniz. sonra pozitif sayilardan rastgele
> araligin uzunlugunu secersiniz. (bu durumda isler degisir mi bilmiyorum)
>
> Bu konuda ilginc bir örnek vereyim. Bir cembere rastgele kiris
> ciziyorsunuz. Kirisin uzunlugunun yaricaptan büyük olma ihtimali nedir?
> 1) önce cember üzerinde rastgele bir nokta, ardindan rastgele ikinci nokta
> seciliyor
> 2) önce dairenin icinden rastgele bir nokta seciliyor (iki boyutlu Lebesgue
> ölcüsüne göre rastgele) Sonra bu nokta kirisin orta noktasi olacak sekilde
> kiris ciziliyor. (nokta belirlendikten sonra kiris biriciktir)
> 3) önce kirisin merkezden uzakligi [0,r) arasinda rastgele seciliyor, sonra
> merkezi ortanoktayla baglayan dogrunun acisi [0,2pi) arasinda rastgele
> seciliyor.
>
> Her üc durum da rastgele secim. Ama rastgele secmenin yöntemi farkli.
> Her üc durum icin yukaridaki sorunun farkli farkli üc cevabi var.
>
> tibet
>
>
> --- On *Sat, 5/16/09, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>
>
> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] olasılık sorusu
> To: tibetefendi at yahoo.com
> Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Saturday, May 16, 2009, 3:17 PM
>
>
> Birkac sorum olacak. Reel sayilarda rasgele bir aralik nasil secilir? Daha
> dogrusu, tum reel sayilar uzerinde Lebesgue olcusune gore rasgele bir nokta
> nasil secilir? Yani probability density function'i nedir?
>
> Tesekkurler.
>
> Kerem
>
>
> 2009/5/16 <tibetefendi at yahoo.com<http://mc/compose?to=tibetefendi@yahoo.com>
> >
>
>>  Ali Ilik'in sordugu soru bana cok ilginc geldi. Hatta Ali Ilik'in
>> simdiye kadar sordugu en güzel soru diyebilirim buna ben. (Ali ilik bir
>> "pablik figür" oldugu icin bu sekilde satasma hakkimiz doguyor, durumdan
>> kendisi sorumludur.)
>>
>> Önce soruyu basitlestiriyorum. Bu basit sorulardan hareketle en sonunda
>> trigonometrik fonksiyon sorusuna net bir cevap verebiliyoruz.
>>
>> Reel sayilarda rasgele bir aralik secildiginde. (Lebesgue ölcüsüne göre
>> arka arkaya iki rastgele nokta seciliyor.) Bu araligin cift sayida tamsayi
>> icerme olasiligi nedir?
>> (Bence 1/2 ama nasil modellenebilecegini tam kestiremiyorum).
>>
>> Bir kere bu aralik ortalama kac tamsayi icerir? Bence ortalama sonsuz
>> tamsayi icerir.
>> Ama bir aralik secildiginde nihayetinde sonlu tamsayi icerecegini
>> biliyoruz. Garip bir durum var yani. Ihtimallerin hepsi sonlu ama beklenti
>> degeri sonsuz.
>> Cünkü herhangi bir n sayisi verildiginde, rastgele secilen bir araligin
>> n'den az tamsayi icerme ihtimali 0'dir.
>>
>> Tamsayi yerine dogal sayi desek.
>> Sececegimiz aralik 1/4 ihtimalle tamamen negatif bölümde yer alacak.
>> Neden? Cünkü ilk sectigimiz kenar 1/2 ihtimalle negatif olacak, ikincisi de
>> ayni sekilde. Ikisinin birden negatif olma ihtimali 1/4. Yani sectigimiz
>> aralik 1/4 ihtimalle hic dogal sayi icermeyecek. Ama 3/4 ihtimalle en az bir
>> dogal sayi icerecek.
>>
>> Soruyu söyle soralim:
>> Reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde cift sayida dogal sayi
>> icerme olasiligi nedir?
>>
>> Bence bu sorunun cevabi 5/8.
>> Neden böyle düsündüm? Cünkü 1/4 ihtimalle sectigimiz aralik hic dogal sayi
>> icermeyecek. Sifir cift sayi.
>> 3/4 ihtimalle de en az bir dogal sayi icerecek. Bu son durumda bence 1/2
>> ihtimalle cift sayida dogal sayi icerir. (sebebini tam aciklayamiyorum)
>> Bu durumda toplamda 1/4 + (3/4*1/2) = 5/8 ihtimalle cift sayida dogal sayi
>> icerir.
>>
>>
>> Su soruya cevap arayalim:
>> Su kümeye bakalim. A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,...} yani 3'ün katlarini
>> icermiyor.
>> Pozitif reel sayilarda rastgele bir aralik secildiginde A kümesinden cift
>> sayida eleman icerme ihtimali nedir?
>> Bu soru bence acaip ilginc. Cevabi da (cok büyük ihtimalle) 2/3.
>>
>> Cözümüm su sekilde. Araligi secmek icin rastgele iki farkli nokta
>> secmeliyiz. Birincisini sectik diyelim. a noktasi olsun. Sececegimiz ikinci
>> sayinin a'dan büyük olma ihtimali 1. (dikkat: pozitif reellerden seciyoruz).
>> burada kagit kalemi alip araligin ikinci noktasi olan b'yi nereden
>> secersek cift sayida nereden secersek tek sayida dogal sayiyi iceriyor,
>> oralari farkli renkelere boyayalim. Cift sayi cikan yerler tek sayi cikan
>> yerlerin iki kati uzunlugunda.
>>
>> Bu sekilde düsünerek Ali Ilik'in sorusuna cevap verebiliriz.
>> O trigonometrik fonksiyonlarin kesisim noktalari orantisiz sikliklarda.
>> Tipki yukarida verdigim A kümesi gibi. Ayni yöntemle rahatlikla bulunabilir.
>>
>> Örnek olarak sin, cos ve sec'in oldugu 3'lü fonksiyon sorusuna cevap
>> veriyorum. Bütün fonksiyonlar icin ayni sekilde yapilabilir.
>>
>> Bu üc fonksiyonun kesistikleri noktalar
>> B={0, pi/4, pi, 5pi/4, 2pi, 9pi/4,...}
>> restgele bir noktayi secip sag tarifini inceliyoruz. (neden böyle yapmaya
>> hakkimiz oldugunu yukarida anlattim.)
>> Kagidi kalemi alip yukaridaki gibi boyadigimizda cevabin 1/4 oldugunu
>> görüyoruz.
>>
>> Yani sin, cos ve sec' in cizili oldugu bir grafikte, Borel ölcüsüne göre
>> restgele bir aralik secildiginde, o aralikta 1/4 ihtimalle cift sayida
>> kesisim noktasi vardir.
>>
>> tibet
>>
>>
>> Benim baska bir sorum var. Onu da buraya ilistireyim, zaten roman gibi
>> oldu bu mail.
>>
>> matematik bölümünde ikinci senemi bitirecegim neredeyse ve hala
>> exponensiyel fonksiyonun sin ve cos'la olan iliskisini anlayabilmis degilim.
>>
>> e^(a+bi) = e^a * cos(b)  +  e^a * sin(b)
>> Euler bunu nereden cikarmis? Kanitini okudum farkli kitaplardan. Bir insan
>> evladinin o sekilde bu fikre ulasmasinin imkani yok. Cünkü zaten analiz
>> kitaplarinda sin ve cos direkt fonksiyon serisi seklinde tanimlaniyor. Sonra
>> tabi bu esitligi kafadan kanitliyor adam.
>>
>> Bunun tarihsel gelisimi nasil olmus? Bunu nereden ögrenebilirim. Bunu
>> anlamam gerek.
>> Yani Euler o fikre nasil ulastigini.
>>
>> ---
>>
>> Bu arada ali ilik'in 0.9999.. = 1 kaniti dünyanin en tirt kaniti olarak
>> tarih sahnesinde yerini aldi bence.
>>
>> tibet
>>
>>
>>
>> --- On *Sat, 5/16/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com<http://mc/compose?to=aliilik@gmail.com>
>> >* wrote:
>>
>>
>> From: Ali ilik <aliilik at gmail.com<http://mc/compose?to=aliilik@gmail.com>
>> >
>> Subject: [MD-sorular] olasılık sorusu
>> To: "MD" <md-sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=md-sorular@matematikdunyasi.org>
>> >
>> Date: Saturday, May 16, 2009, 2:47 AM
>>
>> Kötü bir soru sormak istiyorum.  (Kime göre, neye göre?)
>>
>> http://en.wikipedia.org/wiki/File:Trigonometric_functions.svg linkinde
>> "bildik" trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin hepsi birden çizilmiş.
>> Keyfi bir açık şeridin -{(x,y), a<=x<=b ve y keyfi}- içinde bu eğrilerin
>> kesişim noktalarının sayısının çift olma olasılığı nedir?
>>
>> Ali
>>
>> -----Inline Attachment Follows-----
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/6bb6a74d/attachment.htm 