[MD-sorular] Bir kardinalite sorusu

22 Ara 2010 Çar 17:46:23 EET

Tamam.
e'nin bu yeni tanimiyla Mehmet'in kaniti dogru.
Tesekkurler Mehmet. Zekice.
e'nin tanimi biraz sadelestirip degistirirsek kanit daha anlasilir oluyor.
Tekrarliyorum:
(a_n)_n = Q olsun.
Her N dogal sayisi icin su iki ozelligi saglayan bir d(N) secelim:
1) d(N) < d(N+1), yani d artan olsun.
2) eger bir i = 0, 1, 2, ..., N icin a_n = i/2^N ise d(2^N) > n olsun.
Her N dogal sayisi icin su iki ozelligi saglayan bir e(N) secelim:
1) e(N) < e(N+1), yani e artan olsun.
2) e(N+1) > d(2^{e(N)}) + N olsun.
(c_n)_n bir 01-dizisi olsun.
\alpha = Sum_q c_q/2^{e(q)} olsun.
Herhangi bir m sayisi secelim.
N > m olsun.
\alpha_N = Sum_{q=0}^{N} c_q/2^{e(q)} kismi toplam olsun.
\alpha_N, x/2^{e(N)} biciminde yazilan kesirli bir sayidir. Demek ki 
d'nin tanimina gore bir n < d(2^{e(N)}) icin \alpha_N = a_n olur.
Simdi
\alpha - a_n = \alpha - \alpha_N = Sum_{q=N+1}^{\infty} c_q/2^{e(q)} < 
Sum_{q=e(N+1)}^{\infty} 1/2^q = 1/2^{e(N+1)-1}.
\alpha'nin G_m'de oldugunu kanitlamak icin bu sayinin 1/2^{n+m}'den 
kucuk oldugunu kanitlamaliyiz, yani e(N+1) > n + m + 1 esitsizligini 
kanitlamaliyiz.
n < d(2^{e(N)}) oldugundan, e(N+1) > d(2^{e(N)}) + m esitsizligini 
kanitlamak yeterli. Ama e'nin tanimindan ve N'nin seciminden dolayi,
e(N+1) > d(2^{e(N)}) + N > d(2^{e(N)}) + n.
Kanit bitmistir.
A

On 22.12.2010 17:21, E. Mehmet Kıral wrote:
> Demek ki pek acik yazmamisim, biraz daha aciklayayim.
>
> Evet herhangi bir sayiyi icerebiliyoruz kumemizde, siralamayi degistirerek.
> Ama benim kanitin dedigi herhangi bir siralama verildigi zaman o siralama
> sonucunda sayilamaz sonsuzlukta elemanin kesisimde oldugu, yani
>
> Sonsuz sayida eleman iceriyor olmamiz sundan, ikilik tabanda
>
> 0.(a_1)00000a(2)0000000000000000000000000000000000a(3)000000000000000
> 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
> 000000000000000000000000000000000000000000a(4)0000000000000....
>
> biciminde yazilan sayilarin sayisi, sayilamaz sonsuzlukta, ve bu elemanlarin
> her birinin tum G_m'lerin kesisiminde oldugunu gosteriyorum. a_i'lerin
> arasinda ne kadar sifir koydugumuz verilen Q siralamasina gore degisiyor.
> Q'nun siralamasindan bir d dizisi elde ediyoruz, oradan da bir e dizisi.
>
> Bu arada evet hatali yazmisim e dizisinin tanimini, yazmak istedigim suydu:
> e(q+1)>  2d(2^{e(q)}) Hatta sanirim e(q+1)>  e(q) kosulunu da eklemek
> gerekiyor, otomatik cikmiyor sanirim.
>
> Oyle olduktan sonra e(q) arttigindan, 2^{e(q)} da, dolayisiyla d(2^{e(q)})
> da artiyor, ve sonuc olarak d(2^{e(q)}) belli bir q'dan sonra sabit bir m'yi
> asiyor. Boylece
> e(q + 1)>  d(2^{e(q)}) + d(2^{e(q)})>  d(2^{e(q)}) + m.
>
> Hatadan dolayi zamaninizi aldiysam ozur dilerim.
>
> Kanitin sonunda istedigimiz esitsizlik alpha'nin kesirli sayidan farkinin,
> ki bu farkin 1/2^{e(N+1)}'den kucuk oldugunu biliyoruz, kesirli sayinin
> etrafinda cizdigimiz araligin yaricapindan buyuk olmasi, ve ayrica bu
> yaricapin da 1/[2^{d(2^{e(N)} )  + m}]'den buyuk oldugunu biliyoruz, cunku
> kesirli sayinin, Q'nun siralanisi icerisindeki yeri en fazla d(2^{e(N)}).
> Demek ki eger
>
> 1/2^{e(N+1)}<  1/[2^{d(2^{e(N)} )  + m}] esitsizligini gosterirsek
> istedigimizi kanitlami olacagiz.
>
> Bu da e(N+1)>  d(2^{e(N)}) + m saglanirsa gerceklesir. N yeterince buyukse,
> bu esitsizlik saglaniyor.
>
> sanirim yaricap'tan bahsederken de bazi parantez hatalarinda bulunmusum.
>
> En son olarak bir hatadan daha bahsedeyim, kesisimde Q'da olmayan her
> elemanin askin oldugunu soylemistim, bu dogru degil. Burak Kaya'nin da
> dedigi gibi herhangi bir gercel sayiyi, kesisimde oldurtacak sekilde
> dizilisi secebiliyoruz. Soyleyebilecegim tek sey su, olusturdugum alpha
> sayilarinin hepsi askin. Yani sayilamaz oldugunu gosterdigim. Bu da garip
> degil. Cebirsel sayilardan zaten sayilabilir tane var, ve onlari kullanarak
> sayilamazligi gostermek pek mumkun olmasa gerek.
>
> 2010/12/22 Burak Kaya<burakvonkaya at gmail.com>
>
>> Bana sıralamaya bağlıymış gibi geldi hangi sayının içeride olduğu. alpha
>> \in (0,1) alalım ve alpha = Sum_1^infty alpha_n.2^-n sayının ikilik
>> gösterimi olsun. gamma_n = Sum_1^n alpha_i.2^-i şeklinde gamma_n sayıları
>> tanımlayalım. |gamma_n-alpha|<=2^-n olacaktır o zaman.
>>
>> Şimdi bir a_n dizilimi için, her m için öyle bir n vardır ki alpha \in
>> B(a_n,2^-(m+n))=I_{m,n} olduğunu gösterirsek, o zaman her m için alpha \in
>> G_m olacak, dolayısıyla alpha \in B olacak. Ama dizilimimizi bunu
>> doğrulayacak şekilde seçebiliyoruz. Şöyle ki:
>>
>> {gamma_(3n) : n>=1} dışında kalan rasyonel sayıları bir şekilde
>> sıralayalım, b_n diyelim bu sıralamaya. Daha sonra (a_n)=(gamma_3, b_1,
>> gamma_6, b_2, gamma_9, b_3...) şeklinde tüm rasyonelleri sıralayalım.
>>
>> Şimdi verilen bir m>=1 için, n=2m-1 seçelim. O zaman a_n=gamma_(3m) olacak.
>> Ayrıca |gamma_k-alpha|<=2^-k olduğundan
>> dolayı, |alpha-a_n|=|alpha-gamma_(3m)|<=2^-(3m) olacak. Dolayısıyla alpha
>> \in B[gamma_(3m),2^-(3m)] \subset B(gamma_(3m), 2^-(3m-1)) = B(a_n,
>> 2^-(n+m))=I_{m,n}. Buradan da alpha \in \cup I_{m,n}=G_m. Bu işlemi her m
>> için yapabiliyoruz, o zaman alpha \in \cap G_m = G.
>>
>> Dolayısıyla istediğimiz her sayıyı içeriye katacak bir sıralama seçmek
>> mümkün. Ölçünün sıfır olması gerektiği görülebiliyor ama henüz çözümünüzü
>> tam anlayamadığımdan dolayı neden sayılamaz olması gerektiğini göremiyorum,
>> uğraşacağım! :)
>>
>>
>> 22 Aralık 2010 00:20 tarihinde E. Mehmet Kıral<luzumi at gmail.com>  yazdı:
>>
>> Tum G_m'lerin kesisimi, olcusu 0 olan, ama sayilamaz sonsuzlukta eleman
>>> iceren. Ayrica kesirli olmayan tum elemanlari askin olan ilginc bir kume.
>>> Ustelik kesirli sayilarin siralanisi ne olursa olsun dogru bu.
>>>
>>>
>>>
>>> 2010/12/21 E. Mehmet Kıral<luzumi at gmail.com>
>>>
>>> Herhalde G_m'lerin de kesisimini alacagiz.
>>>> Kesisim kumesi kesirlilerin siralanisina gore degisebilir. En azindan
>>>> sunu soyleyebilirim.
>>>>
>>>> Oyle bir siralanis vardir ki, kesisim Q'dan baska hicbir eleman icermez.
>>>> Dolayisiyla sayilabilirdir.
>>>>
>>>> Ayrica herhangi bir reel sayi aldigimizda onu kesisimde elde edecek
>>>> sekilde kesirlileri siralayabiliriz.
>>>>
>>>> Ilki icin bir ornek verecegim. Ilk once soru tum kesirliler icin degil de
>>>> Q \cap [0,1] icin sorulsa temelde bir sey degismez. Birim araliktaki
>>>> kesirlileri de
>>>>
>>>> 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7,
>>>> ... biciminde siralayalim.
>>>>
>>>> Herhangi bir alfa irrasyonel sayisi alalim. Alfaya cok yakin kesirli
>>>> sayilarin paydasi da cok buyuktur. Bu tumceyi nicelemek gerekirse, oyle bir
>>>> epsilon>0  vardir ki her p, q kesirli sayisi icin,
>>>> |alpha - p/q |>  epsilon/q^2.
>>>> Bir sonuc olarak |alpha - p/q|<  1/q^3 esitsizligi sadece sonlu sayida
>>>> p/q icin saglanir, cikar.
>>>>
>>>> Ancak p/q'nun etrafina cizdigimiz araliklar 2'nin kuvvetleriyle birlikte
>>>> kuculuyor. Dolayisiyla kesirleri paydalarinin buyuklugu q'lara gore
>>>> siraladigimizda hicbir irrasyonel sayiya yaklasamiyorlar. Daha dogrusu cok
>>>> gec yaklasiyorlar.
>>>>
>>>> Dolayisiyla en azindan bir siralama icin, bahsettiginiz kesisim
>>>> sayilabilir.
>>>>
>>>> Sayilamaz sayida eleman iceren bir kesisim olursa, bunu somut olarak
>>>> bulabilecegimizi sanmiyorum. Sanmalarin, sanrilarin matematikte yeri yok
>>>> tabii ki.
>>>>
>>>> 2010/12/21 Ezgi Kantarcı<ezzzgi at gmail.com>
>>>>
>>>> Bu soruda m'in değişkenliğinin işlevini tam anlayamadım ben aslında. Eğer
>>>>> tüm G_m'ler için birleşim alıyorsak, G_1 hepsini kapsamaz mı zaten?
>>>>>
>>>>> 2010/12/22 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>>
>>>>>
>>>>>> Pardon... I_{n, m}, a_n merkezli 1/2^{n+m} yaricapli aralik olsun...
>>>>>> A
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> On 22.12.2010 00:45, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>>>>
>>>>>>> Herhalde bir sey farkli olacak,
>>>>>>>
>>>>>>> Cunku sorunun bu ifadesiyle G_m'lerin her biri R'nin tamami.
>>>>>>>
>>>>>>> 2010/12/21 Ali Nesin<anesin at nesinvakfi.org>
>>>>>>>
>>>>>>>   Kesirli sayilari bir bicimde siralayalim.
>>>>>>>> Diyelim (a_n)_n biciminde.
>>>>>>>> I_{n, m}, a_n merkesli 1/2^m yaricapli aralik olsun.
>>>>>>>> G_m, tum n'ler icin I_{n, m}'lerin bilesimi olsun.
>>>>>>>> B de tum m'ler icin G_m'lerin bilesimi olsun.
>>>>>>>> B, tum kesirli sayilari icerir elbette.
>>>>>>>> Ama daha fazla sayi da icerebilir.
>>>>>>>> B'nin kardinalitesi hakkinda bir sey soyleyebilir miyiz?
>>>>>>>> A
>>>>>>>> _______________________________________________
>>>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>   _______________________________________________
>>>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>>>>
>>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Eren Mehmet Kıral
>>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Eren Mehmet Kıral
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>> --
>> B.
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101222/d91a47f8/attachment.htm>