[MD-sorular] Taylor Serisi

[Ayhan Dil]

Merhaba,

Fonksiyonun tanımında bir problem var aslında.
f(x)=e^(-1/x^2) fonksiyonu x=0 noktasında
tanımlı olmadığı için sürekliliği de söz konusu değildir.
Bu fonksiyonu şu şekilde parçalı tanımlayalım:

f(x)=0,                  x=0 olduğunda
ve
 f(x)=e^(-1/x^2),     x sıfırdan farklı olduğunda

Böyle tanımlanan f(x) fonksiyonu x=0 noktasında da sürekli olur.

Bu durumda f(x) in x=0 noktasında ki bütün türevleri 0 olur. Yani Taylor
serisindeki
bütün terimleri sıfır olur.
x=0 noktasının bir komşuluğundaki bütün noktalarda geçerli olan Taylor
serisi fonksiyonun
sıfır fonksiyonu izlenimini doğuruyor. Oysa x=0 noktasının haricinde
fonksiyon sıfırdan farklıdır.
Devamı kitapta yapılan açıklama gibi.

Ayhan Dil

> ---------- Yönlendirilmiş ileti ----------
> From: "tÿfffffcrker isenlik" <isenlik at yahoo.com>
> To: md-sorular at matematikdunyasi.org
> Date: Mon, 8 Feb 2010 16:37:20 -0800 (PST)
> Subject: [MD-sorular] taylor serisi
>   merhaba,
>
> "reel düşünülen her x değeri için f(x)=e^(-1/x^2) ile tanımlanan fonksiyon
> her noktada süreklidir ve her mertebeden sürekli türevlere sahiptir. bu
> nedenle, bu fonksiyonun her noktada Taylor serisine açılımını düşünmek ve bu
> seriler bakımından noktaların birbirinin aynı davranışlar göstermesini
> beklemek, ilk bakışta çok doğaldır. Oysa kolayca gerçeklenebileceği gibi,
> x=0 noktasında fonksiyon ve bütün türevleri 0 dır. Bu, sözü edlien nokta
> civarında f(x)=0 olduğu izlenimini verir ve gerçekle çelişir(i)
>
> (i) Cauchy tarafından verilen bu örnek, bir fonksiyona ilişkin Taylor
> serisinin yakınsak olması ile Rn kalan teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra
> gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını gösterir."
>
> devamında ise, x= 0 noktasının fonksiyonun esaslı bir tekil noktası oldugu
> ve dolayısıyla o nokta etrafında Laurent açılımının söz konusu olduğundan
> bahsediliyor.
>
> Alıntı yaptığım kısım Mithat İdemen'in Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar
> Teorisi kitabına ait.sormak istediğim kısım ise şu;
>
> <bir fonksiyona ilişkin Taylor serisinin yakınsak olması ile Rn kalan
> teriminin n--->sonsuz olurken sıfıra gitmesinin aynı şeyler olmadıklarını
> gösterir> bu yargıya yukarıdaki ifadeden,verlien örnek fonksiyondan nasıl
> ulaşılabilir?
>
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100209/3d1f4485/attachment.htm>