[MD-sorular] Ynt: Re: Doğal sayılar ve (h)armonikler

30 Haz 2010 Çar 23:53:19 EEST

*"Matematiğin bugünkü *

*yapısı içinde “şu,şu özelliklere sahip aksiyomlar/ön savlar(theorem)/*

*varsayımlar(conjucture)” kanıtlanamaz!*Böylece,örneğin bir Goldbach

varsayımına kimse kafa yormaz;böylece rahat ederdik!"

Çok zor bir şey istiyorsunuz sanırım. Rahat ederiz diyorsunuz ama o
dediğiniz şeyi kanıtlamak Goldbach'tan zor olsa gerek eğer mümkünse kanıtı.
Çünkü eğer Goldbach'tan kolay olsaydı adamlar onu kanıtlarlardı Goldbach'la
uğraşacaklarına. Değil mi?

Bkz: Matematikçi sağduyusuyla kanıt.

30 Haziran 2010 22:18 tarihinde dede <dede_47 at mynet.com> yazdı:

> Sayın Tibet Efendi
> Bahsettiğiniz konuları “derinliğine” tartışıp,
>
> değişik bakış/öneri/fikir üretecek düzeyde alt yapım yok!
>
> Sadece “avami (sıradan insan)” olarak şu kadarını
>
> söyleyebilirim:Varsayalım ki matematiğimizin
>
> temelleri çürük/bozuk/yanlış.Bilinen 5000 yıllık
>
> insanlık tarihinde,doğru modelleme yapıldığında
>
> matematik bizleri hiç “aldatmadı/yanıltmadı/yanlışa sürüklemedi!
>
> Bugün doğru modellenmiş;mikro/makro alemde
>
> hep onun rehberliğiyle “bir şeyleri buluyor/üretiyoruz”.
>
> Yani “pragmatist(yararcı)” açıdan, işimizi mükemmel görüyor!
>
> Korkmayın; matematiğimiz bir gün “ortadan çatlamayacak”
>
> çatlayacak bir yapısı olsaydı;5000 yıl boyunca bir yerde
>
> “falso” verirdi!ZFC gibi “derin” konuları;varsın “meraklı beyinler”
>
> araştırsın,bu gereklidir.Ama sonucun “pragmatik” açıdan
>
> etkisi olacağını “sanmıyorum!” Bu arada yeri gelmişken,aklıma
>
> takılan bir noktayı da belirteyim:Gödel’in kanıtlamaları malum;
>
> bir “babayiğit” de şunu kanıtlasa çok iyi olacak.*Matematiğin bugünkü  *
>
> *yapısı içinde “şu,şu özelliklere sahip aksiyomlar/ön savlar(theorem)/*
>
> *varsayımlar(conjucture)” kanıtlanamaz!*Böylece,örneğin bir Goldbach
>
> varsayımına kimse kafa yormaz;böylece rahat ederdik!
>
> Kolaylıklar/sağlıklı günler dilerim
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "tibet efendi"
> Kime : "Metin Odun" ,"Matematik Dunyasi"
> Gönderme tarihi : 30/06/2010 3:50
> Konu : Re: [MD-sorular]Doğal sayılar ve (h)armonikler
> Sunu tekrar edeyim: Ben dogal sayilar derken bütün dogal sayilari iceren
> kümeden bahsediyorum, tek tek dogal sayilardan degil.
> Sonsuzluk kavrami, bu kümenin varligina inandigimiz anda basliyor. O yüzden
> yaptigim "sonsuzluk" tartismasi "dogal sayilar kümesinin varligi"
> tartismasindan baska bir sey degil.
>
> Kümeler teorisi tam bir aldatmaca bence. (Oysa eskiden kümeler teorisinin
> matematigin en saf, en temiz, en güzel dali oldugunu düsünürdüm. ZFC'yi
> bilmeyen matematikci bence matematikciden sayilmamaliydi.)
>
> Sen hic, bir uzayliya, sonsuz elemanli bir kümeden bahsettin mi Metin? Inan
> ki cok zor.
>
> tibet
>
>
>
> --- On *Wed, 6/30/10, tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>* wrote:
>
>
> From: tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
> To: "Metin Odun" <metamaths at gmail.com>, "Matematik Dunyasi" <
> md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Wednesday, June 30, 2010, 2:27 AM
>
> Iki ayna arasinda sonsuz görüntü olusmaz. Görüntüler giderek ufaliyor. Atom
> boyutunda görüntü olur mu? bir atomun 10^1000000'de biri boyutunda bir
> görüntü olur mu? Foton olayina kadar kücülüyor mesele. O boyutta düsününce
> bu sistemin sonlu oldugunu kavramak daha mümkün.
>
> Evren de "sonsuz" degil sanirim. Fizik hocamiz bize lisede söyle demisti:
> Dünyadan ayrilip tek bir yöne dogru hic yön degistirmeden giderseniz yeteri
> kadar gittiginizde karsiniza yine dünya cikarmis.
> (teorik olarak) Evrenin böyle kendi icine dogru dönen garip bir sekli
> varmis.
> Ben onun yalancisiyim tabi burada. Fizikten hic anlamam.
>
> Dogal sayilar kümesi neden "insan yaratisidir" diyorum? Cünkü sonsuz
> elemanli dogal sayilar kümesi isin icine girince onun varligini
> gösterebildigin aksiyom sistemlerinin
> tutarliligini kanitlayamiyorsun. Kanitlanamayacagi kanitlandi. Ama bu
> herhangi aksiyom sisteminin kendi icinde tutarliligi kanitlamanaz demek
> degil. Illa ki dogal sayilari, onlarin carpmasini ve toplamasini icermesini
> gerekiyor bu sistemin. Gödel'in eksiklik teoreminin kosulu bu.
>
> Infinitesimal diye bir kavram var biliyorsunuz. Sonsuz kücüklükte
> uzakliklar. Türev-integral hesabi gelistirilirken Newton'lar Leibniz'ler
> falan hep bu sonsuz ufakliktaki sayilarla düsündüler, hatta onlarla hesap
> yaptilar. Bu sonsuz kücüklükteki sayilarla türev-integral hesabini
> gelistirdiler. Daha o zamanlar epsilonlu yakinsama tanimi bile yoktu.
> Deltalar epsilonlar hep sonradan bu hesaplari saglam bir temele oturtmak
> icin cikti. Cikti da ne oldu, saglam temele oturdu mu? Oturmadi. (bizim
> tartismamiz) Ama matematikciler dayandiklari aksiyom sistemini
> basitlestirdikce onun dayanikliligina daha bir
> güvendiler.
>
> Neyse.. ne diyordum. hah.. simdi kim cikip "infinitesimal diye bir sey yok"
> diyebilir? Infinitesimalle hesap yapiliyor. Hatta bu kavram o kadar dogal ki
> türev onunla bulundu. (1950'lerde infinitesimallerle ciddi ciddi hesap
> yapabildigin sayi sistemleri gelistirildi. Robinson diye bir adam bunu
> yapan. http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ) Sonsuzluk
> kavrami ne kadar dogalsa infinitesimal kavrami da o kadar dogal. Ikisi icin
> de aksiyom yazinca oluyor yani. Matematikse matematik.
>
> Sonsuzluk bize ögretildi. Dediler ki, bir sey böyle hic bitmemecesine
> uzayip giderse iste o sonsuz. Biz de "oldu" dedik. O yasta bize kim ne derse
> inaniyorduk zaten. Ve o inancimiz devam etti. Cünkü bir seye inanip onun
> üzerine bir sürü sey insa edersen o inancindan vazgecmek istemezsin. Din
> gibi bir sey. Ailenden
> ögreniyorsun.
>
> Ben 3-4 yaslarindayken 100 benim icin sosnuz gibi bir seydi. Dedemin 100'e
> kadar sayabildigini ögrenince inanamamistim. Dün gibi hatirliyorum.
> Cocuklugumdan hatirladigim cok az seyden biri. Dede sen 100'e kadar
> sayabilir misin demistim. Evet demisti. Hic beklemiyordum evet cevabini. Say
> demistim saymamisti. Uzun süre süphe ettim bir insanin yüze kadar
> sayabileceginden.
>
> Simdi, her sayidan daha büyük bir sayi olmasi gerektigi herkesin malumu.
> Bir uzayli da 1,2,3 diye sayilari tanimlayip her sayinin bir ardili vardir
> diyebilir.
> Ama buradan, *"1'i iceren ve icerdigi her sayinin ardilini da iceren bir
> SEY"*in varligi sonucu cikmiyor. Yani "1,2,3,..." diye bir sey var mi? Onu
> bence insanlik olarak biz uyduruyoruz. Neden olsun ki öyle bir sey? Kim
> nerede görmüs? 1'i "görüyoruz", 2'yi "görüyoruz".. Bir sekilde görüyoruz
> bunlari. Ama sonsuz üyesi olan bir
> nesneler toplulugu görmedim ben. Oldugunu da sanmiyorum.
>
> Secim Beliti örnegin... Secim Beliti sonsuzluk kavramina dayanan bir belit.
> Bununla akla yatmayan bir cok sey kanitlanabiliyor. Yani mesela su
> kanitlaniyor: 3 boyutlu ortamda bir küreyi sonlu sayida parcaya ayirip
> sadece onlari döndürüp öteleyerek ayni boyda iki küre üretebiliyoruz. Olacak
> is degil! http://en.wikipedia.org/wiki/Banachâ��Tarski_paradox<http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox>
>
> Bence bunun kanitlanabildigi bir matematik sistemi, insan üretisi olmak
> zorunda. Kim dogada bir nesneyi parcalayip parcalarin yerlerini degistirerek
> ilk nesnenin iki kopyasini olusturabilir? Olmaz öyle sey. Sonsuzluk dogal
> bir kavramdir diyorsaniz iste sonucu bu!
> Sonsuzluk ne kadar dogalsa bu da o kadar dogal. Gelin de sonsuzlugun dogal
> bir kavram olduguna inanin
> simdi.
>
> "Sonsuz"
> yerine "cok-büyük" ya da "extra-büyük" gibi bir laf kullansaydik her
> seyimiz farkli olacakti bence. Matematigimiz bambaska olacakti. "Sonsuz"
> dedik, isler sarpa sardi. Gödel bombayi birakti gitti ondan sonra iste
> böyle.
>
> Bu "sonsuz" kavrami gibi bence "yokluk", "hiclik" kavramlari da bizim
> icadimiz. Olmayan seye nede isim koyuyorsun, degil mi?
> Insanoglu iste.
>
> tibet
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> --- On *Wed, 6/30/10, Metin Odun <metamaths at gmail.com>* wrote:
>
>
> From: Metin Odun <metamaths at gmail.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
> To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
> Cc: "Kerem Altun"
> <kerem.altun at gmail.com>, "Matematik Dunyasi" <
> md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Wednesday, June 30, 2010, 12:04 AM
>
> "*Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan yaratisi
> oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk kavraminin...*
>
>
> Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan
> yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim
> uydurdugumuz bir sey."
>
>
> Burada ilginç bir derinlik var. Matematik icat mı keşif mi, tartışması çok
> sıktığından mıdır, matematiğin bazı konularının icat bazı konularının keşif
> olabileceğini iddia etmek ve buna inanmak. Tibet, doğal sayıların insan
> yaratısı olduğunu düşünüyorsun. Bunun sebebini de yazsaydın ya. Tartışma
> olsun diye mi yazdın sebepsiz olarak? Abi bir şeyin insanın uydurduğu bir
> şey olup olmadığını nasıl anlayacağız?
>
>
> Karşılıklı iki düzlem aynada sonsuz tane görüntü oluşuyor. Aynayı insan
> yaptı. Ama insan olmasaydı iki ayna arasında sonsuz tane görüntü olmayacak
> mıydı yani? Tamam, insan olmasaydı fiziksel olarak elle tutulabilecek bir
> ayna olmayacaktı ama ayna diye bir gerçeklik olacaktı. İdealar dünyası mı
> ne... Kaldı ki karşılıklı iki şelale de ayna görevi görür. Yani insan olmasa
> da ayna dediğimiz şey olacaktı aslında bir anlamda.
>
>
> Buraya kadar iyi anlatamadıysam anlatmak istediğimi yine bir soruyla
> anlatmaya çalışayım. Ama anlatamayacağımı hissediyorum.
>
>
> İnsan olmasaydı doğal sayılar olmayacak mıydı yani? Sen bunu diyorsun
> Tibet, sen diyorsun ki doğal sayılar insan yaratısıdır. Yani insan olmasaydı
> doğal sayılar olamazdı diyorsun. Abi koyunların sayılar teorisi
> yapamayacağını nerden biliyoruz? Allah bilir Gödel bir koyundu. Ne bileyim
> ben. İnsan sayıları bulmuşmuş.
>
>
> Bence marsta da matematik var ve oradaki canlılar bizden çok önce sayıları
> buldu. Yani sayılar insan yaratısı değil marstaki canlıların yaratısı(..)
>
>
> Bence bu tartışmada iş zor. Matematik matematik dışı nesneleri tartışmada
> çok ama çok yetersiz kalıyor. Matematiğin kendisi mesela matematiğin, ya da
> sayıların diyelim, icat mı keşif mi, insan yaratısı mı tavukların yaratısı
> mı olduğu hakkında bir harf ama bir harf bile söyleyemez. Ve korkarım
> matematiksel önermelerin doğrulukları haricindeki tüm ama tüm tartışmalar
> görecelidir. Yani tartıştığımız herhangi bir şey eğer matematiksel bir
> önermenin doğruluğu değilse bu tartışmada doğrunun ne olduğunu belirlemek
> mümkün değil çünkü doğrunun ne olduğu konusunda uzlaşmak için elimizde bir
> referans olmuyor (Tüm dünyadaki insanların uzlaşabilecekleri bir referanstan
> bahsediyorum burada.) Yani mesela
> dini bir konuyu tartışıyoruz diyelim. Bazısı Tevrat'a inanır bazısı
> Kur'an'a. Mesela, tüm dünya Tevrat'a inansa deriz ki bu doğru bu yanlış.
> Matematikte bunu diyebiliyoruz ama. Şimdiye kadar bazı matematikçilerin
> doğru olduğuna inandığı bazılarının ise yanlış olduğuna inandığı bir teorem
> yoktur. Bazı konjektürler üzerinde tartışmalar olabilir. Bazı teorilerle
> ilgili fikirler olabilir. Bir teorinin gelişim aşamasındaki tartışmalar vs.
> Bunları kastetmiyorum. Yani boru gibi doğru olan bir teoreme kalkıp da bir
> matematikçi yanlış demez. Dese de geyiğine der, vs.
>
>
> Matematik zor ama güzel.
>
>
>
> 29 Haziran 2010 15:32 tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>yazdı:
>
> Benim söyledigim sey yanlis anlasilmis.
>>
>>
>> Ben 1,2,3 gibi "dogal sayilar"in insan zihnine özel kavramlar oludugunu
>> düsünmüyorum.
>> Cünkü örnegin fareler 7'ye kadar sayabiliyorlar. Demek ki farenin
>> kafasinda bile sayi kavrami gördügü seylerden bagimsiz olarak var.
>>
>>
>> (Bunun deneyi söyle yapiliyor: yan yana tüneller diziyorlar. tünellerden
>> belli birinin sonuna peynir koyuyorlar. Ama diyelim hep 6. tünelin sonuna...
>> Fare tek tek tünellere girip peynir orada mi diye bakiyor. Deney sürekli
>> tekrarlaniyor ve peynir diyelim hep 6. tünele konuyor. Fare bir süre sonra
>> diger tünellere bakmadan dogrudan 6. tünele girip peyniri yemeye basliyor.
>> Tünellerin kapilarinin acildigi odanin seklini degistiriyorlar, tünellerin
>> kapilarinin seklini, birbirlerinden uzakliklarini, tünellerin kokularini
>> degistiriyorlar. Yani deney setindeki herseyi degistiriyorlar. Fare yine
>> 6. tünele giriyor peyniri yiyor. (namissiz).
>> 7'de de yapiyor bunu ama 8 olunca yapamiyor. Ama diyelim 13 tünelli bir
>> deneyde bu sefer sagdan tünel kapilarini sayip sagdan 6. kapiya girerek 8.
>> kapiya girmis oluyor. Yani fare deyip gecmeyin.
>>
>> Bunu "Through our Eyes Only" diye bir kitap var, orada okumustum, cok
>> sahane bir kitap.)
>>
>>
>> *Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan yaratisi
>> oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk kavraminin...*
>>
>>
>> Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan
>> yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim
>> uydurdugumuz bir sey.
>>
>> tibet
>>
>>
>>
>>
>>
>> --- On *Tue, 6/29/10, Kerem Altun
>> <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>>
>>
>> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>
>> Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
>> To: "ozgur baskaya" <baskaya_ozgur at yahoo.com>
>> Cc: "Matematik Dünyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
>>
>> Date: Tuesday, June 29, 2010, 12:17 PM
>>
>>
>> Ufak bir ekleme yapmak istiyorum. Dogada ses cikartan hicbirsey, aslinda
>> tek bir frekansta titresmez. Yani temel frekansin (ing. fundamental
>> frequency) tek bir reel sayiya esit oldugu durumlar ancak teoride mumkundur.
>> "Temel ses tonunun frekansi 100 Hz olsun" dediginizde aslinda diger
>> frekanslardaki (cok kucuk) titresimleri ihmal ederek bunu yapiyorsunuz.
>>
>>
>>
>> Tabii bu yazdiklarim dogal sayilar dogada yoktur manasina gelmez. Sesi
>> frekans bilesenlerine ayirdiginizda en baskin bilesen 100 Hz'deyken 200,
>> 300, 400 ... Hz'lerde de cok baskin bilesenler oldugu bir gercek. Ama zaten
>> bir agactaki elmalari da 1, 2, 3, ... diye sayabiliyoruz, bu bile yeterli
>> bir arguman gibi geliyor bana. Ismiyle musemma, "dogal" sayi!
>>
>>
>>
>> Kerem
>>
>>
>>
>> 2010/6/29 ozgur baskaya <baskaya_ozgur at yahoo.com<http://mc/compose?to=baskaya_ozgur@yahoo.com>
>> >
>>
>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Sayın Üyeler,
>>>
>>>
>>>
>>> geçenlerdeki bazı farklı iletilerde adı geçen iki değişik konu ile
>>>
>>> "doğal sayıların insan ürünü gelmesi" şüphesini taşıyan en son iletiyi
>>>
>>> ilintilendirerek bir fikrimi paylaşmak istiyorum:
>>>
>>>
>>>
>>> Geçende listede alman Kronecker'in meşhur bir sözü hatırlatıldı;
>>>
>>> ilk bakışta iki parçalı olarak görünen bir tez... Orjinali:
>>>
>>> "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere
>>>
>>> ist Menschenwerk".
>>>
>>>
>>> Türkçesi:
>>>
>>> "Tamsayıları Tanrı yarattı; diğer herşey insan(ın) eseri."
>>>
>>> ("Tanrı tamsayıları yarattı" değil aslında; nüansa dikkat!)
>>>
>>>
>>>
>>> Gelelim ilintilendirdiğim ikinci konuya:
>>>
>>> Sayın Değirmencioğlu Sinüs dalgalarının tartışıldığı bir iletisinde
>>>
>>> "Harmonikler" konusundan bahsetmiş. Sanıyorum bu konu Akustik
>>>
>>> bilimindeki "ses"in harmonikleri ile analojik eşdeğerde.
>>>
>>> (Yanılıyorsam lütfen düzeltsin kendileri.)
>>>
>>>
>>>
>>> Ben yukarıdaki tezin 1.parçasının üzerine şu örnekle bir yorum
>>> yapılabilir olduğunu düşünürüm:
>>>
>>>
>>>
>>> Ses, hepimizin bildiği gibi, kaynağında oluştuktan sonra bilumum
>>>
>>> özellikler taşıyan dalgalar halinde bir medyumda ilerler.
>>>
>>>
>>>
>>> Doğal bir sesin temel (baz) dalgası vardır ki belli bir frekansta olsun.
>>>
>>> Buna "temel ses tonu" diyelim.
>>>
>>>
>>>
>>> Sentetik olarak üretilmeyen, doğada oluşan "her" sesin
>>>
>>> temel ses tonunun yanında sonsuz sayıda "armonikleri" vardır
>>>
>>> (ben başındaki "h" harfini kullanmıyorum). Bunlar bir nevi o sesin
>>> bileşenleridir. Nasıl ki -örneğin- herhangi bir Taylor serisini
>>>
>>> olustururken 1. seri elemanının ardında sonsuz adet diğerleri
>>>
>>> sıralanıyorsa, bu armonikler de o doğal sesin bileşenleridir.
>>>
>>> Temel ses tonunun şiddeti (yani dalgasının amplitüdü) en yüksek
>>>
>>> olandır ve bu şiddet diğer bileşenlerde belli şekilde düşer.
>>>
>>>
>>>
>>> Ve gelelim benim açımdan en can alıcı noktaya ki doğal sayıların
>>>
>>> insan ürünü olmadığının bence en açık kanıtlarından biridir:
>>>
>>>
>>>
>>> Temel ses tonu 1.ton olsun, örneğin frekansı 100 Hz olsun. Diğer
>>> bileşenlerin ses tonları 2., 3., 4., ... diye numaralandırılsın.
>>> 2. bileşen ses tonunun frekansı temel tonun tam tamına 2 katıdır (200
>>> Hz);
>>>
>>>
>>> 3.sü tam 3 katı (300 Hz) ve 4. olan tam 4 katı (400 Hz) diye devam eder.
>>> Doğal olarak her bir sonra gelen bileşenin dalga amplitüdü giderek
>>> alçalır
>>> ve daha az duyulur hale gelir ama teorik olarak sıfır değerini almaz.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Ben bu konuya, ingilizcesi Overtone Singing, Almancası Oberton-Gesang
>>>
>>> diye bilinen, özellikle Tuva (bir TürkÃ® Cumhuriyet) ve Moğolistan'da
>>>
>>> çocuk yaşlardan itibaren uygulanan bir şarkı söyleme türüyle
>>>
>>> ilgilenmeye başladığımda hayran kalmıştım.
>>>
>>>
>>>
>>> Benim açımdan "tam sayıların" (burada "doğal sayılar" diye vurgulamak
>>>
>>> daha doğru olur kanımca, çünkü negatif değerlerden söz etmiyoruz)
>>>
>>> doğada kesinlikle var olduğunun kanıtıdır bu örnek. Daha başka örnekler
>>>
>>> tabii ki bulunabilir ama çarpıcılık açısından en sevdiğim örnektir.
>>>
>>>
>>>
>>> Dikkat edin, burada sayma kavramından bahsetmiyoruz. Doğa kendiliğinden
>>>
>>> oranlıyor, hem de tam tamında doğal sayı katlarıyla. Bu doğal sayı katlar
>>>
>>>
>>> temel ses tonunu referans alır, yani ona oranlanır. Sayarken 1, 2, 3 diye
>>>
>>> saymak başka, oranlarken 1 katı, 2 katı, 3 katı diye oranlamak başka
>>> şeyler
>>>
>>> ki doğa yapıyor bu oranlamayı; biz insanoğlu değil. Bize "sadece"
>>> keşfetmek
>>>
>>> düşmüş.
>>>
>>>
>>>
>>> Zaten yine meşhur bir kişiliğin "Herşey Görecedir! (Alles ist relativ!)"
>>>
>>> sözünden feyz almışlığım da vardır.
>>>
>>>
>>>
>>> İleriki iletilerimde 3 doğal sayısının 2 doğal sayısına oranının doğada
>>>
>>> ve dolayısıyla matematikte karşımıza çıktığı konuları sorgulamaya açmaya
>>>
>>> niyetliyim. "Nedir bu 3/2 oranı?" diye soracağım yani...
>>>
>>>
>>> Saygılarımla
>>>
>>>
>>> Ö.B.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>>
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>
>>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>>>
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>
>>
>>
>> -----Inline Attachment Follows-----
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org>
>>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> _______________________________________________
>>
>> MD-sorular e-posta listesi
>>
>> sorular at matematikdunyasi.org
>>
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
>
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org<http://../src/compose.php?send_to=sorular%40matematikdunyasi.org&unique_id=7ac99a13b8bc7f7cabb99a612c92a0af>
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
> ------------------------------
>  İngilizce seviyenizi ücretsiz test edebilirsiniz. Tıklayınız
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=43910&url=http://www.limasollunaci.com/ingilizce-seviye-tespit-testi.aspx?firmaid=181%26ara=1>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100630/d3525bd2/attachment.htm>