[MD-sorular] Cosh x ve Paraboller

[Burak Kaya]

M'yi büyük tutarsan eşitsizlik kurtarmaz demişim. Oradaki
eşitsizlik epsilon>|sinh(M)/M-a/3.M^2-c| olacak. Oradan da aslında
çelişkiye ulaşmak için biraz iş yapmak gerekiyor. Pek fikir dolu bir çözüm
olduğu söylenemez, uygun M ve epsilon seçip çelişkiye ulaşılabiliyor ama
işlem hammallığı çok.

Öncelikle sinh(M)/M=Sigma_0^infty M^(2k)/(2k+1)!=1+Sigma_1 M^(2k)/(2k+1)!
olduğundan sinh(M)/M-a/3.M^2-c=(1-c)+(1/6-a/3)M^2+Sigma_2 M^(2k)/(2k+1)!

epsilon=1 için |sinh(M)/M-a/3.M^2-c|<1
-1<sinh(M)/M-a/3.M^2-c<1
-1<(1-c)+(1/6-a/3)M^2+Sigma_2 M^(2k)/(2k+1)!<1
c-2<(1/6-a/3)M^2+Sigma_2 M^(2k)/(2k+1)!<c

|Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|<1 koşulundan dolayı (x=0 dersek) 0<c<2
olabileceğinden, yukarıdaki eşitsizlikten aşağıya geçebiliriz:

-2<(1/6-a/3)M^2+Sigma_2 M^(2k)/(2k+1)!<2
-2/M^2<(1/6-a/3)+Sigma_2 M^(2(k-1))/(2k+1)!<2/M^2
-2/M^2-Sigma_2 M^(2(k-1))/(2k+1)!-1/6<-a/3<2/M^2-Sigma_2
M^(2(k-1))/(2k+1)!-1/6

3.Sigma_2 M^(2(k-1))/(2k+1)!+1/2+6/M^2>a>3.Sigma_2
M^(2(k-1))/(2k+1)!+1/2-6/M^2

Şimdi çelişkiye götürecek bir M bulmak zor değil. M=15 değeri için serinin
yaklaşık değerini hesaplayıp (
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sigma_2%5Einfty+15%5E%282%28k-1%29%29%2F%282k%2B1%29%21*3)
oradan
sınırları tamsayılara yuvarlayarak şöyle bir eşitsizlik çıkarabilirsiniz:

1453>a>1452

a ve c üzerine sınır bulduktan sonra şimdi ilk sahip
olduğumuz |Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|<1 koşulunu köşe noktası M=15'de kullanarak
b üzerine bir sınır koyabiliriz.

-1<Cosh(15)-(225a+15b+c)<1
-1+c+225a<Cosh(15)-15b<1+c+225a

a ve c üzerindeki sınırlardan dolayı

-1+225.1452<Cosh(15)-15b<3+225.1453
326699<Cosh(15)-15b<326928

Buradan 87188>b>87172 gibi bir sınır çekmek mümkün. Şimdi a, b ve c
üzerindeki tüm sınırları ve cosh(1) için bir approximation kullanıp
|Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|<1
eşitsizliğinin x=1 için sağlanmadığını görmek kolay.

Buradaki sorun cosh(x)'in uzun vadede herhangi bir polinoma göre çok hızlı
büyümesi, büyük aralıklarda bir parabol ile uniform bir şekilde kendisine
yakınsamak mümkün değil bu yüzden.

Sıfır etrafındaki küçük aralıklarda da dediğim gibi zaten Taylor serisinin
ilk iki terimini aldığınızda, geriye kalan terimleri istediğiniz küçüklükte
yapacak şekilde aralığınızın sınırını ayarlayabilirsiniz.

2011/12/9 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com>

> Aralık epsilona bağlı olmazsa da kendin seçmek istersen istediğin şey
> mümkün olmayabilir. Diyelim ki (-M,M) aralığında
> |Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|<epsilon.
>
> O zaman epsilon.2M >integral_-M^M
> |Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|>=|integral_-M^M Cosh(x)-(ax^2+bx+c)|=|2sinh(M)-2a/3.M^3-2cM|
> olmalı, yani epsilon>|sinh(M)/M-2a/3.M^2-c| gibi bir eşitsizlik sağlanmalı.
> M'yi büyütürken epsilonu küçük tutarsan kurtarmaz.
>
> Epsilona bağlı bir şekilde aralık seçiyorsan da Cosh(x)'in seri
> açılımındaki x^2/2+1 polinomunu alman yeterli. Kalan terimlerin boyunu
> büyütmeyecek şekilde sıfır etrafında her zaman yeterince dar bir aralık
> bulabilirsin.
>
>
> 2011/12/9 Baris Paksoy <baris.paksoy at gmail.com>
>
>> Aralık bulmaktan öte, verilmiş bir epsilon ve (-c,c) aralığında tanımlı
>> bir fonksiyonu nasıl bulabiliriz hocam? Var olduğunu bilebiliriz ama nasıl
>> aproksimasyon yapıldığınında metodu var mı?
>>
>> De ve da ekleri bana gerçekten daha zor geliyor hocam, zamanla
>> öğreneceğim ama herhalde.
>>
>>
>> 2011/12/9 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>
>>> **
>>>
>>> Verilmis bir epsilon icin elbette oyle bir aralik (-c, c) araligi
>>> bulabilirsin. Ne de olsa bunlar surekli fonksiyonlar.
>>> De ve da eklerinin ne zaman birlesik ne zaman ayri yazilacagini ne zaman
>>> ogreneceksin?
>>> Matematikten daha mi zor!
>>> A
>>>
>>>
>>>
>>> On 09.12.2011 11:07, Baris Paksoy wrote:
>>>
>>> Geçen gün aklıma takılan ama ispatını veremediğim bir soruda sizinde
>>> fikrinizi almak istiyorum.
>>>
>>> cosh x = 1/2 (e^x + e^(-x) 'in grafiğini çizdiğimizde bir parabol gibi
>>> gözüküyor. f(x) = a x^2 + b x +c formunda bir fonksiyon bulabilir miyim ki
>>> verilmiş her epsilon £ için | f(x) - cosh x | < £ olsun?
>>>
>>> Bu sorunun cevabı olumsuz olsa gerek, e^x çok hızlı büyüyor çünkü. Fakat
>>> fonksiyona kısmi olarak bakarsak, mesela x'i (-c,c) aralığından seçersek, o
>>> zaman ne olur?
>>>
>>> en içten sevgi ve saygılarımla
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> Adres   : Istanbul Erkek Lisesi
>>               Turkocagi Caddesi No:4
>>               Eminonu/Istanbul/Türkiye
>>
>> Telefon : +905445555926
>>
>> Baris Paksoy
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> Burak.
>



-- 
Burak.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111209/ad928744/attachment.htm>